[論文レビュー] Stable real K-theory and real topological Hochschild homology

E. Dotto|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本学位論文は、実K理論から実トポロジカル・ホッホルド・ホモロジー（THR）へのZ/2-可換トレース写像を確立し、環の分割平方ゼロ拡張上の射影的加群の安定KRが適切な係数を用いた環のTHRと同値であることを証明する。これは古典的なDundas-McCarthy定理を実設定に拡張したものであり、Z/2-可換S2,1·-構成と、双対性を持つ圏のためのTHRの新理論を用いている。

ABSTRACT

The classical trace map is a highly non-trivial map from algebraic K-theory to topological Hochschild homology (or topological cyclic homology) introduced by Bökstedt, Hsiang and Madsen. It led to many computations of algebraic K-theory of rings. Hesselholt and Madsen recently introduced a Z/2-equivariant version of Waldhausen S-construction for categories with duality. The output is a certain spectrum with involution, called the real K-theory spectrum KR, and associated bigraded groups analogous to Atiyah's real (topological) K-groups. This thesis develops a theory of topological Hochschild homology for categories with duality, and a Z/2-equivariant trace map from real K-theory to it. The main result of the thesis is that stable KR of the category of projective modules over a split square zero extension of a ring is equivalent to the real topological Hochschild homology of the ring with appropriate coefficients. This is the real version a theorem of Dundas-McCarthy for ordinary K-theory.

研究の動機と目的

• 圏の双対性を備えたトポロジカル・ホッホルド・ホモロジー（THR）の理論を構築し、古典的THHを実設定に一般化すること。
• 実K理論（KR）からTHRへのZ/2-可換トレース写像を構成し、古典的なBökstedt-Hsiang-Madsenトレースを模倣すること。
• 分割平方ゼロ拡張についてKRとTHRとの間の安定同値性を確立するDundas-McCarthy定理の実版を証明すること。
• TCを用いた古典的K理論の計算と類似する方法で、実K理論の計算フレームワークをトレース法を用いて提供すること。
• S2,1·-構成を双対性を持つ圏へ拡張し、ホモトピー的同値を介して実K理論およびTHRと関連付けること。

提案手法

• 双対性を持つ完全圏にS2,1·-構成を適応させ、実K理論のZ/2-可換スペクトラモデルを生成する。
• 双対構造を持つ環のためのTHRの新定義を、双対的カテゴリと対称スペクトルを用いて提示する。
• G-スuspension定理と可換な連結性推定を用いて、THRモデル間の写像およびその固定点を分析する。
• Blakers-Massey定理とファイバー系列を用いて、THRとS2,1·-構成の間の自然な写像の連結性を証明する。
• G-連結性補題とホモトピー余極限技術を用いて、S2,1·-構成を介したKRとTHRのモデルを比較する。
• S2,1·-構成を用いてTHRのデロープを構成し、実K理論との安定比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対性を持つ圏に対して、トポロジカル・ホッホルド・ホモロジーをどのように一般化すれば、THHの実版を定義できるか？
• RQ2 実K理論から実トポロジカル・ホッホルド・ホモロジーへの正しいZ/2-可換トレース写像とは何か？
• RQ3 分割平方ゼロ拡張について、KRが基本環のTHRに同値であるというDundas-McCarthy定理の実版は存在するか？
• RQ4 Z/2-可換設定下で、S2,1·-構成とS1,1·-構成は実K理論およびTHRとどのように関係するか？
• RQ5 分割拡張について、S2,1·-構成とTHRモデルの間の自然な写像の連結性は何か？

主な発見

• 主な結果として、分割平方ゼロ拡張A ⋉ M上の射影的加群のカテゴリの実K理論スペクトルKRと、適切な係数を用いた実トポロジカル・ホッホルド・ホモロジーTHR(A; M)との間の安定同値性が確立される。
• 実K理論から実トポロジカル・ホッホルド・ホモロジーへのZ/2-可換トレース写像が構成され、安定設定において同値であることが示される。
• 双対性を持つ圏のためのS2,1·-構成は、Z/2-可換ホモトピー同値を介して実K理論スペクトルと同値な実K理論のモデルをもたらす。
• S2,1·-構成からTHRモデルへの写像は、(2j + n, j + n)-連結であることが示され、G-スuspension定理とBlakers-Masseyの議論から得られる連結性推定が導出される。
• THRの固定点は、元の環の古典的トポロジカル・ホッホルド・ホモロジーを回復し、実K理論スペクトルのZ/2-固定点は非退化双一次形式の群完備化を回復する。
• S2,1·-構成を用いてTHRのデロープが構成され、実K理論との安定比較が可能になり、古典的THHのデロープを一般化する。