[論文レビュー] Stable representation homology and Koszul duality

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、導来表現スキームの逆極限構成を用いて安定表現ホモロジーを導入することで、Procesiの定理の導来版を確立する。導来ホモロジーの対称代数が安定表現ホモロジーと同型であることを証明し、有限ランクにおけるトレース写像の上への性質に関する長年の未解決問題を解決する。主な結果は、無限次元極限における循環ホモロジーの対称代数とトレース部分代数のホモロジーの間の同型であり、Koszul双対性やLieホモロジーにおける組合せ的恒等式への応用を含む。

ABSTRACT

This paper is a sequel to [BKR], where we studied the derived affine scheme DRep_n(A) of the classical representation scheme Rep_n(A) for an associative k-algebra A. In [BKR], we have constructed canonical trace maps Tr_n(A): HC(A) -> H[DRep_n(A)]^GL extending the usual characters of representations to higher cyclic homology. This raises a question whether a well known theorem of Procesi [P] holds in the derived setting: namely, is the algebra homomorphism Sym[Tr_n(A)]: Sym[HC(A)] -> H[DRep_n(A)]^GL defined by Tr_n(A) surjective ? In the present paper, we answer this question for augmented algebras. Given such an algebra, we construct a canonical dense DG subalgebra DRep_\infty(A)^Tr of the topological DG algebra DRep_\infty(A)^{GL_\infty}. It turns out that on passing to the inverse limit (as n -> \infty), the family of maps Sym[Tr_n(A)] "stabilizes" to an isomorphism Sym[\bar{HC}(A)] = H[DRep_\infty(A)^Tr]. The derived version of Procesi's theorem does therefore hold in the limit. However, for a fixed (finite) n, there exist homological obstructions to the surjectivity of Sym[Tr_n(A)], and we show on simple examples that these obstructions do not vanish in general. We compare our result with the classical theorem of Loday-Quillen and Tsygan on stable homology of matrix Lie algebras. We show that the relative Chevalley-Eilenberg complex C(gl_\infty(A), gl_\infty(k); k) equipped with the natural coalgebra structure is Koszul dual to the DG algebra DRep_\infty(A)^Tr. We also extend our main results to bigraded DG algebras, in which case we show that DRep_{\infty}(A)^Tr = DRep_{\infty}(A)^GL_{\infty}. As an application, we compute the (bigraded) Euler characteristics of DRep_\infty(A)^GL_{\infty} and \bar{HC}(A) and derive some interesting combinatorial identities.

研究の動機と目的

• 有限 n に対して代数準同型 ΛTrn(A)• : Λk[HC•(A)] → H•[DRepn(A)]GLn が全射であるかどうかを解明すること。
• 導来表現スキームの逆系として、安定極限対象 DRep∞(A)Tr を構成し、トレース写像の安定化を可能にする。
• 循環ホモロジーの対称代数と安定表現ホモロジーの間の同型を確立することで、Procesiの定理の導来版を証明すること。
• Chevalley-Eilenberg複体 gl∞(A) とトレース部分代数 DRep∞(A)Tr 間のKoszul双対性を調査すること。
• 双次数付き設定におけるEuler特徴量の計算を通じて組合せ的恒等式を導出すること。

提案手法

• 導来表現スキーム DRepn(A) を、n次元 A-表現の導来モジュライを表す可換DG代数として構成する。
• DRepn+1(A) → DRepn(A) の安定化写像を定義し、逆系を形成することで逆極限 DRep∞(A)GL∞ を得る。
• GL∞ の作用に関して閉じた、DRep∞(A)GL∞ の部分DG代数としてのトレース部分代数 DRep∞(A)Tr を定義する。
• トレース写像の族 ΛTrn(A)• が逆極限で同型 Λk[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)Tr に安定化することを証明する。
• canonical twisting cochain τ∞,∞(A) : C•(gl∞(A), gl∞(k); k) → DRep∞(A)Tr を構成し、Chevalley-Eilenberg複体がトレース部分代数とKoszul双対であることを示す。
• 双次数構造を用いて DRep∞(A)Tr = DRep∞(A)GL∞ であることを示し、Euler特徴量の計算と組合せ的恒等式の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限 n に対して代数準同型 ΛTrn(A)• : Λk[HC•(A)] → H•[DRepn(A)]GLn は全射か？
• RQ2 n → ∞ の極限において、トレース写像の族は同型に安定化するか？
• RQ3 安定表現ホモロジー H•(A, ∞)Tr と gl∞(A) のLieホモロジーの間の関係は何か？
• RQ4 Chevalley-Eilenberg複体 C•(gl∞(A), gl∞(k); k) は、トレース部分代数 DRep∞(A)Tr とKoszul双対か？
• RQ5 DRep∞(A)GL∞ と HC•(A) のEuler特徴量は計算可能であり、組合せ的恒等式と関係づけられるか？

主な発見

• 有限 n に対して一般に写像 ΛTrn(A)• は全射でなく、第5.3.1節で明示的な反例によりホモロジー的障害が存在することが示された。
• 逆極限において、トレース写像は同型に安定化する：Λk[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)Tr であり、これは導来版のProcesiの定理の証明である。
• Chevalley-Eilenberg複体 C•(gl∞(A), gl∞(k); k) は、aclycic twisting cochain τ∞,∞(A) を通じて DRep∞(A)Tr とKoszul双対であり、H•(A, ∞)Tr ∼= Ext−•C(k, k) が成り立つ。
• 双次数付きDG代数では DRep∞(A)Tr = DRep∞(A)GL∞ であるため、安定化定理により Λ[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)GL∞ が得られる。
• Euler特徴量の計算から、Macdonald予想やMolien-Weyl積分にインスパイアされた新しい組合せ的恒等式が導かれる。
• トレース部分代数 DRep∞(A)Tr は自然なココミutative DGホップ代数構造を備えており、そのホモロジーは次数付きホップ代数である。