[論文レビュー] Stable space-like singularity formation for axi-symmetric and polarized near-Schwarzschild black hole interiors

Spyros Alexakis, Grigorios Fournodavlos|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ホライズンに近い超曲面上での初期データの微小摂動の下で、軸対称かつ偏光近いシュバルツシルトブラックホール内部における時空的特異点の安定性を確立する。著者らは軸対称性における新規の測地的ゲージを用い、アインシュタイン真空方程式を自由波動方程式と非線形常微分方程式（ODE）の結合系に再定式化する。非線形不安定性にもかかわらず、特異点は漸近的に速度支配的ダイナミクスと、特異点を越えて変化する点ごとのカスナー型挙動を示し、依然として存続することを証明する。

ABSTRACT

We show a stability result for the Schwarzschild singularity (inside the black hole region) for the Einstein vacuum equations. The result is proven in the class of polarized axial symmetry, under perturbations of the Schwarzschild data induced on a hypersurface $\{r=\e\}$, $\e<<2M$. Our result is only partly a stability result, in that we show that while a (space-like) singularity persists under perturbations as above, the behaviour of the metric approaching the singularity is much more involved than for the Schwarzschild solution. Indeed, we find that the solution displays asymptocially-velocity-term-dominated dynamics and approaches a different Kasner solution at each point of the singularity. These Kasner-type asymptotics are very far from isotropic, since (as in Schwarzschild) there are two contracting directions and one expanding one. Our proof relies on energy methods and on a new approach to the EVE in axial symmetry, which we believe has wider applicability: In this symmetry class and under a suitable geodesic gauge, the EVE can be studied as a free wave coupled to (nonlinear) ODEs, which couple the geometry of the projected, 2+1 space-time to the free wave. The fact that the nonlinear part of the Einstein equations is described by ODEs lies at the heart of how one can overcome a certain linear instability exhibited by the singularity.

研究の動機と目的

• 軸対称かつ偏光近いシュバルツシルトに近いブラックホール内部における時空的特異点の安定性を証明すること。
• 初期データの微小摂動の下での特異点近傍における計量の動的挙動を分析すること。
• 特異点に内在する線形不安定性を克服するために、アインシュタイン真空方程式を新規の幾何的ゲージに再定式化すること。
• 特異点における漸近的挙動が一様ではなく、点ごとに異なるカスナー型ダイナミクスを示すことを示すこと。

提案手法

• 軸対称性における測地的ゲージを採用し、アインシュタイン真空方程式（EVE）を自由波動方程式と非線形常微分方程式（ODE）の結合系に簡略化する。
• 3+1次元のアインシュタイン方程式を、軸対称性を活用して動的を分離し、自由波動方程式と結合された2+1次元有効幾何に還元する。
• エネルギー法を用いて非線形波動およびODE成分を制御し、特異点への発展過程において一様な境界を保証する。
• ODE構造を用いてシュバルツシルト特異点に内在する線形不安定性を補償し、長時間存在および安定性解析を可能にする。
• 特異点上における空間的点ごとの異なるカスナー解への点ごとの収束を調べることで、計量の漸近的挙動を分析する。
• 非線形項が偏微分方程式ではなく常微分方程式であることに着目し、通常特異点形成を破壊する不安定性を克服するより強い制御を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュバルツシルトブラックホール内部における時空的特異点は、ホライズンに近い初期データの微小軸対称的・偏光的摂動の下でも安定しているか？
• RQ2 このような摂動の下で、特異点に近づくに従って計量はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 軸対称性においてアインシュタイン方程式の非線形構造を簡略化することで、内在する不安定性にもかかわらず安定性の証明が可能になるか？
• RQ4 特異点における漸近的ダイナミクスは等方的のままであるか、それとも空間的に変化する非等方的・カスナー型挙動を示すか？
• RQ5 アインシュタイン方程式が自由波動方程式とODEに還元されるような新しい幾何的ゲージを構成可能か？

主な発見

• 初期データの微小軸対称的・偏光的摂動が、r = ε < 2M に近い超曲面上に与えられた場合、時空的特異点は存続する。
• 特異点近傍における漸近的ダイナミクスは漸近的に速度支配的であり、計量は空間的不同点で異なるカスナー解に近づく。
• 特異点は強い非等方性を示す：2つの収縮する空間的次元と1つの拡張する次元を有し、カスナー挙動に一致するが、空間的に非一様である。
• 選択した測地的ゲージにおいて、アインシュタイン方程式の非線形部はODEに還元され、これにより発展の制御と主要な線形不安定性の克服が可能になる。
• 特異点が時空的であり続け、特異点に達するまでに適切なノルムで計量が一様に有界であるという意味で、解は安定である。
• この手法により、特異点の構造が摂動に対して頑健であることが明らかになったが、元のシュバルツシルトの場合よりも点ごとの漸近的挙動がより複雑であることが判明した。