[論文レビュー] Stable vector bundles on a hyper-Kahler manifold with a rank 1 obstruction map are modular

Eyal Markman|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双ケーラー多様体上の勾配安定な反射的層が、自己同型の空間の変形に伴う障害写像のランクが1である場合、その自己同型代数が多様体とともに変形可能であることを示す。この性質は『非常にモジュラー』と呼ばれる。主な結果として、このような層がLooijenga-Lunts-Verbitsky格子内に直線を定めることが示され、3つの主要な例の構成がなされる：ヒルベルトスキームの導来同値、スカイスクラッチ層の像、および有理数的 canonical バンドルを持つラグランジュ部分多様体上のラインバンドル。

ABSTRACT

Let X be an irreducible 2n-dimensional holomorphic symplectic manifold. A reflexive sheaf F is very modular, if its Azumaya algebra End(F) deforms with X to every Kahler deformation of X. We show that if F is a slope-stable reflexive sheaf of positive rank and the obstruction map from the second Hochschild cohomology of X to $Ext^2(F,F)$ has rank 1, then F is very modular. We associate to such a sheaf a vector in the Looijenga-Lunts-Verbitsky lattice of rank equal to the second Betti number of X plus 2. Three sources of examples of such modular sheaves emerge. The first source consists of slope-stable reflexive sheaves F of positive rank which are isomorphic to the image of the structure sheaf via an equivalence of the derived categories of two irreducible holomorphic symplectic manifolds. The second source consists of such F, which are isomorphic to the image of a sky-scraper sheaf via a derived equivalence. The third source consists of images of torsion sheaves L supported as line bundles on holomorphic lagrangian submanifolds Z, such that Z deforms with X in co-dimension one in moduli and L is a rational power of the canonical line bundle of Z.

研究の動機と目的

• 双ケーラー多様体上の反射的層が、自己同型の空間の変形に伴う障害写像のランクが1である場合、その自己同型代数がすべてのケーラー変形において多様体とともに変形可能であることを証明すること。
• このような層を、ランク $ b_2(X) + 2 $ のLooijenga-Lunts-Verbitsky（LLV）格子内に明確に定義された直線と関連付けること。
• 導来カテゴリ、ヒルベルトスキーム、およびラグランジュ部分多様体を用いて、このようなモジュラー層の3つの異なる族を構成すること。
• O'Gradyの $ K3^{[2]} $-型多様体に関する結果を、より高次元の双ケーラー多様体へ一般化・拡張すること。

提案手法

• 障害写像 $ \mathrm{obs}_F: HH^2(X) \to \mathrm{Ext}^2(F,F) $ を用いて、変形障害が最小限である層を特徴付ける。
• 「非常にモジュラー」な層を、$ X $ のすべてのケーラー変形において $ \mathcal{E}nd(F) $ が変形可能であるような層として定義する。
• ホッフシュィルドコホホロジーと導来カテゴリの変形を用いて、障害写像の像を通じてLLV格子内に標準的な直線を構成する。
• BKR対応を用いて、$ X^n $ 上の等変ベクター束をヒルベルトスキーム $ X^{[n]} $ 上の層へ持ち上げる。このとき、反射的かつモジュラー性が保証される。
• 導来同値 $ \Phi: D^b(X) \to D^b(Y) $ を用いて、既知のモジュラー対象（例えば、構造層、スカイスクラッチ層）を $ X^{[n]} $ 上の新しい例へ移す。
• フーリエ＝ムカイ変換のチャーン類およびムカイベクトルを分析し、モジュラー性を確認するための整数性および正定性条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双ケーラー多様体 $ X $ 上の反射的層 $ F $ が、$ X $ のすべてのケーラー変形において変形可能となる条件は何か？
• RQ2 障害写像 $ \mathrm{obs}_F: HH^2(X) \to \mathrm{Ext}^2(F,F) $ のランクが1である場合、それが $ F $ が非常にモジュラーであることを示唆するのはどのような状況か？
• RQ3 $ X^{[n]} $-型の双ケーラー多様体上での、ランク1の障害写像を持つ安定な反射的層の幾何的およびカテゴリカルな源は何か？
• RQ4 Looijenga-Lunts-Verbitsky格子を用いて、このようなモジュラー層を分類・構成するにはどうすればよいか？
• RQ5 導来モノドロミー群の作用とチャーン類を用いて、層のモジュラー性を検出できるか？

主な発見

• 双ケーラー多様体 $ X $ 上の勾配安定な反射的層 $ F $ で、$ \mathrm{rank}(\mathrm{obs}_F) = 1 $ を満たすものについては、$ \mathcal{E}nd(F) $ が $ X $ のすべてのケーラー変形において変形可能であり、非常にモジュラーである。
• このような層は、$ X $ のLLV格子内に明確に定義された直線を定める。この直線は導来自己同値のもとで不変である。
• 最初の例の源は、2つの非分解的正則シンプレクティック多様体間の導来同値 $ \Phi: D^b(X) \to D^b(Y) $ に対して $ \Phi(\mathcal{O}_X) $ である。
• 2番目の源は、スカイスクラッチ層の像 $ \Phi(\mathcal{O}_x) $ であり、$ X^{[n]} $ 上の非常にモジュラーな層をもたらす。
• 3番目の源は、$ Z \subset X $ を、モジュライ空間において codimension 1 で変形可能なラグランジュ部分多様体とし、$ L $ をその canonical バンドルの有理数乗としたときの $ \Phi(L) $ である。
• 特に $ X = S^{[n]} $（$ S $ を $ K3 $ 表面とする）の場合、$ G^{oxtimes n} $ にBKR対応を適用することで、$ S^{[n]} $ 上の非常にモジュラーなバンドルを明示的に構成できる。