[論文レビュー] Stably ergodic diffeomorphisms which are not partially hyperbolic

Ali Tahzibi|ArXiv.org|Jun 8, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、不変な双曲的部分 bundle を持たない $C^2$ 体積保存微分同相写像のクラスについて、部分双曲性に代えて、支配的分解と非一様双曲性を用いて、安定的エルゴード性を確立する。このような系は安定的エルゴード的であり、非保存的摂動は一意なSRB測度を有し、その基盤は全Lebesgue測度を占めることが示され、Bonatti-Viana (2000) が提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We show stable ergodicity of a class of conservative diffeomorphisms which do not have any hyperbolic invariant subbundle. Moreover the uniqueness of SRB measures for non-conservative $C^1$ perturbations of such diffeomorphisms. This class contains strictly non-partially hyperbolic robustly transitive diffeomorphisms by Bonatti-Viana and so we answer their question about the stable ergodicity of such systems.

研究の動機と目的

• Bonatti と Viana (2000) が提起した、ロバストにトランスティヴィスで部分双曲的でない微分同相写像の安定的エルゴード性に関する未解決問題を解決すること。
• 不変な双曲的部分 bundle を持たない $\mathbb{T}^n$ 上の保存的 $C^2$ 微分同相写像のクラスに対して、安定的エルゴード性を確立すること。
• このような系の非保存的 $C^1$ 摂動に対して、SRB測度の一意性を証明すること。
• 体積双曲性と支配的分解が、部分双曲性がなくても非一様双曲性とエルゴード性を保証するのに十分であることを示すこと。
• ABV00 フレームワークを用いて構成された $cu$-Gibbs 測度が、同時双曲的時刻条件を必要としないにもかかわらず、正のLebesgue測度の基盤を持つこと、すなわち物理的意味を持つSRB測度であることを確認すること。

提案手法

• 線形Anosov微分同相写像 $f_0$ の $C^1$-近傍での変形のみを許容する、$\mathbb{T}^n$ 上の $C^1$-近傍の微分同相写像のクラス $\mathcal{V} \subset \operatorname{Diff}^2_{\omega}(\mathbb{T}^n)$ を定義する。変形は有限個の小さな球体 $V$ の上に限る。
• 安定・不安定方向を含む連続的かつ $Df$-不変な錐体 $C^{cs}, C^{cu}$ を持つ支配的分解 $TM = E^{cs} \oplus E^{cu}$ を用いる。
• 体積双曲性条件により非一様双曲性を確立する：ある $C>0$, $\lambda<1$ に対して、$|\det(Df^n|E^1)| \leq C\lambda^n$ および $|\det(Df^{-n}|E^2)| \leq C\lambda^n$ が成り立つ。
• 動的平坦な部分多様体の幾何構造と、$D^\infty(x)$（局所強い不安定多様体）がグローバルに $C^1$ グラフに含まれることを用いて、ほとんど everywhere で $E^{cs}$ 方向に負のリャプノフ指数を持つことを保証する。
• 安定ラミネーションの絶対連続性と $cu$-Gibbs 測度の構造を用いて、その基盤が正のLebesgue測度を持つことを示す。
• 特に、非ロバストな場合に支配的分解が存在しないことにより、吸引子（シンク）の存在を回避するため、$C^1$位相における摂動技法を用いて、小さな $C^1$ 摂動下でも性質がロバストに保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分双曲性（つまり不変な双曲的部分 bundle を持たない）の下で、安定的エルゴード性は達成可能か？
• RQ2 支配的分解と体積双曲性が、非保存的摂動に対してSRB測度の一意性を保証するのに十分か？
• RQ3 ABV00 のフレームワークを用いて構成された $cu$-Gibbs 測度が、同時に双曲的時刻条件を必要としないまま、SRB測度（正のLebesgue測度の基盤を持つ）であることを示せるか？
• RQ4 保存的系における $C^1$-ロバストな非分解性は、支配的分解の存在と同値か？
• RQ5 部分双曲性や可アクセス性に依存せずに、非部分双曲的系のロバストなトランスティビリティが、安定的エルゴード性を示唆するか？

主な発見

• 任意の $f \in \mathcal{V} \cap \operatorname{Diff}^2_{\omega}(\mathbb{T}^n)$ は安定的エルゴード的であり、$f$ の $C^1$-近傍に含まれるすべての微分同相写像がエルゴード的である。
• 体積双曲性条件を $TM = E^{cs} \oplus E^{cu}$ 上で満たす非保存的 $f \in \mathcal{V} \cap \operatorname{Diff}^2(\mathbb{T}^n)$ に対して、全Lebesgue測度の基盤を持つ一意なSRB測度が存在する。
• ABV00 の方法で構成された $cu$-Gibbs 測度は、同時双曲的時刻条件を必要とせず、$D^\infty(x)$ 上のほとんど everywhere で $E^{cs}$ 方向に負のリャプノフ指数を持つことから、SRB測度であることが示された。
• $\mathcal{V}$ は、Bonatti と Viana (2000) が構成した非部分双曲的でロバストにトランスティヴィスな微分同相写像を真に含むため、彼らの未解決問題（安定的エルゴード性）に対する解決が達成された。
• 証明は、$D^\infty(x)$ が動的平坦な部分多様体に含まれることに依拠しており、これにより、その上のほとんどすべての点で $E^{cs}$ 方向に負のリャプノフ指数を持つことが保証され、これがエルゴード性に不可欠である。
• 支配的分解と $C^1$-ロバスト性のおかげで、$\mathcal{V}$ 内にはシンクが存在せず、小さな摂動下でも周期的吸引子が存在しないことが保証される。