[論文レビュー] Stack semantics and the comparison of material and structural set theories

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 31被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、集合的構造 𝒮 から集合の構成 V(𝒮) が、分離、古典論理、および集合的公理を保持することを確立する。スタック意味論と整礎的拡張可能な有向グラフ（apg）を用いて、𝒮 がこれらの公理を満たすならば、V(𝒮) も同様に満たすことを証明する。これにより、構造的集合論が物質的集合論的性質を継承することが可能になる。

ABSTRACT

We extend the usual internal logic of a (pre)topos to a more general interpretation, called the stack semantics, which allows for "unbounded" quantifiers ranging over the class of objects of the topos. Using well-founded relations inside the stack semantics, we can then recover a membership-based (or "material") set theory from an arbitrary topos, including even set-theoretic axiom schemas such as collection and separation which involve unbounded quantifiers. This construction reproduces the models of Fourman-Hayashi and of algebraic set theory, when the latter apply. It turns out that the axioms of collection and replacement are always valid in the stack semantics of any topos, while the axiom of separation expressed in the stack semantics gives a new topos-theoretic axiom schema with the full strength of ZF. We call a topos satisfying this schema "autological."

研究の動機と目的

• 物質的集合論の基礎的性質が、V(𝒮) を通じて構造的集合論にどのように伝わるかを調査すること。
• スタック意味論と有向グラフ（apgs）を用いて、物質的集合論と構造的集合論の関係を形式化すること。
• 分離、古典論理、および集合的公理といった重要な公理が、V(𝒮) の構成において保存されるかどうかを示すこと。
• 物質的集合論のコアな性質を継承できるように、構造的集合論にカテゴリー的基盤を提供すること。
• 直感的論理および古典論理の文脈において、V(𝒮) の論理的および集合論的振る舞いを明確にすること。

提案手法

• スタック意味論を用いて、V(𝒮) の文脈における論理式と量化子を解釈し、集合論的公理の圏論的取り扱いを可能にする。
• 整礎的拡張可能な有向グラフ（apgs）を、V(𝒮) 内の集合を表す基礎的対象として採用する。
• 𝒮 における分離を用いて、ノード上の条件に基づき apg の部分集合を定義し、論理式 φ を満たす要素を捉える新しい apg B を構成する。
• 𝒮 における集合的公理を用いて、集合 V から |A| への上への写像と、インデックス集合上に構築された有向グラフ B を組み合わせ、φ(X,Y) の証拠の存在を保証する。
• 任意の X ∈ A に対して、φ(X,Y) を満たす Y ∈ V(𝒮) が存在することを、上への写像と有向グラフ構造を用いて V(𝒮) に持ち上げることで確立する。
• 𝒮 における古典論理を適用し、任意の論理式 φ に対して φ ∨ ¬φ が V(𝒮) で成立することを示し、古典的推論が V(𝒮) の構成において保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒮 が分離を満たす場合、構成 V(𝒮) は分離公理を保存するか？
• RQ2 𝒮 がすべての論理式 φ に対して φ ∨ ¬φ を満たすならば、V(𝒮) は古典論理を継承できるか？
• RQ3 𝒮 が集合的公理を満たす場合、V(𝒮) の構成において集合的公理は保存されるか？
• RQ4 スタック意味論と apg 構造は、物質的集合論から構造的集合論への集合論的公理の伝達をどのように支援するか？
• RQ5 V(𝒮) が 𝒮 から重要な性質を継承する well-behaved な構造的集合論を形成するための条件は何か？

主な発見

• 𝒮 が分離を満たすならば、V(𝒮) も分離を満たす。これは、論理式 φ を満たすノードの部分集合からなる部分 apg B を構成することで示される。
• 𝒮 が完全な古典論理を満たすならば、V(𝒮) は古典論理を継承する。なぜなら、任意の論理式 φ に対して φ ∨ ¬φ が V(𝒮) で成立するからである。
• 𝒮 が集合的公理を満たすならば、V(𝒮) も集合的公理を満たす。上への写像とインデックス集合上の有向グラフを用いて、証拠の存在を持ち上げることで実現される。
• 整礎的拡張可能な apg を用いた V(𝒮) の構成により、集合の構造的整合性が保たれ、所属関係と真偽条件が正しく反映される。
• スタック意味論の枠組みにより、V(𝒮) における論理的および集合論的原則の整合的解釈が可能となり、それが構造的集合論としての有効性を裏付ける。
• 証明は、主に集合 |A| 上の上への写像と有向グラフという圏論的構成に依存しており、これにより V(𝒮) における公理的閉包が保証される。