[論文レビュー] Stack-Sorting Preimages of Permutation Classes

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有効なフック配置を用いて、ウェストのスタックソーティング写像の下での置換クラスの逆像を計算するための新規フレームワークを導入し、パターン回避集合への写像を正確に数えることを可能にする。2スタックソーティング可能な置換に関する未解決問題を解決し、単調列や対称的パターンを含むさまざまなクラスの逆像に対して閉形式および母関数を提供する。

ABSTRACT

We extend and generalize many of the enumerative results concerning West's stack-sorting map $s$. First, we prove a useful theorem that allows one to efficiently compute $|s^{-1}(π)|$ for any permutation $π$, answering a question of Bousquet-Mélou. We then enumerate permutations in various sets of the form $s^{-1}( ext{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}))$, where $ ext{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)})$ is the set of permutations avoiding the patterns $τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}$. These preimage sets often turn out to be permutation classes themselves, so the current paper represents a new approach, based on the theory of valid hook configurations, for solving classical enumerative problems. In one case, we solve a problem previously posed by Bruner. We are often able to refine our counts by enumerating these permutations according to their number of descents or peaks. Our investigation not only provides several new combinatorial interpretations and identities involving known sequences, but also paves the way for several new enumerative problems.

研究の動機と目的

• ウェストのスタックソーティング写像の下で、$|s^{-1}(\text{Av}\left(\tau^{(1)}, \break \tau^{(2)}, \break \dots, \break \tau^{(r)}\right))|$ のサイズを計算する一般化された手法の開発。
• ソーティング可能および2スタックソーティング可能な置換を超える置換クラスの逆像を特徴付けることで、古典的な列挙結果を拡張すること。
• 有効なフック配置を用いた降下およびピーク統計に基づく列挙の精緻化により、より深い組合せ的構造を明らかにすること。
• 2スタックソーティング可能な置換に関する未解決問題を解決し、逆像母関数に関する新しい予想を提示すること。
• 逆像集合と既知の組合せ的数列（Catalan数やMotzkin型数列を含む）との関係を確立すること。

提案手法

• ボセット・メルーが提起した問いを解決するため、任意の置換 $\tau$ に対して $|s^{-1}(\tau)|$ を効率的に計算できる定理を導入する。
• 有効なフック配置の理論を応用し、降下およびピーク統計に関して $s^{-1}(\text{Av}(\tau^{(1)}, \dots, \tau^{(r)}))$ に属する置換を数える。
• スタックソーティング写像 $s(\pi) = s(L)s(R)n$ の再帰的構造を用い、最大要素の位置に基づいて逆像集合を分解する。
• 母関数および組合せ的体系の技法を用いて、特に $\text{Av}(132, 312)$、$\text{Av}(132, 231)$、および $\text{Av}(231, 321)$ の逆像数の閉形式を導出する。
• 既知の双対写像（例えば、戦いのフィッシュと2スタックソーティング可能な置換との間）を活用し、結果の妥当性を検証および精緻化する。
• 与えられた置換クラスにおける後行順の読み上げを持つ単調な平面木の数を数える一般フレームワークを提案し、スタックソーティング逆像問題を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボセット・メルーが提起したように、任意の置換 $\tau$ に対して $|s^{-1}(\tau)|$ を効率的に計算できるか。
• RQ2 $s^{-1}(\text{Av}(132, 312))$ および $s^{-1}(\text{Av}(132, 231))$ の正確な列挙は何か。また、それらは同じ母関数を持つのか。
• RQ3 列挙数 $|s^{-1}(\text{Av}_n(123\cdots m))|$ は $m \geq 2$ に対して単峰的か。
• RQ4 特定の置換 $\theta_{n,k}$（減少部分列を有するもの）に対して、$m$ 個のピークを持つ $s^{-1}(\theta_{n,k})$ の置換数の閉形式は何か。ここで $\theta_{n,k} = (k+1)k(k-1)\cdots 321(k+2)(k+3)\cdots n$。
• RQ5 $s^{-1}(\text{Av}(231, 321))$ の正確な列挙は何か。また、OEIS シーケンス A165543 と一致するか。

主な発見

• 本稿は、$|s^{-1}(\text{Av}_n(132, 312))|$ および $|s^{-1}(\text{Av}_n(132, 231))|$ に対して閉形式の公式を提供し、両者とも母関数 $\frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 4x - 4x^2}}{4x}$ を持つことを示した。
• $m \geq 2$ に対して $|s^{-1}(\text{Av}_n(123\cdots m))|$ が単峰的であることを証明した。$m=4$ の初期項の計算に基づく。
• 置換 $\theta_{n,k} = (k+1)k(k-1)\cdots 321(k+2)(k+3)\cdots n$ に対して、$m$ 個のピークを持つ逆像数は、有効なフック配置から導かれる関数 $V(q_t, j_t)$ を含む合成の和として与えられる。
• $s^{-1}(\text{Av}(231, 321))$ の母関数は、$\frac{1}{1 - xC(xC(x))}$ であると予想された。ここで $C(x)$ はCatalanの母関数である。
• ブルーナーが提起した問題を解決し、$s^{-1}(\text{Av}(132, 312))$ の列挙を行い、その逆像の母関数を提供した。
• 逆像集合 $s^{-1}(\text{Av}(\tau^{(1)}, \dots, \tau^{(r)}))$ がしばしば置換クラスそのものであることを確立し、新たな組合せ的解釈および恒等式を可能にした。