[論文レビュー] Stack sorting, trees, and pattern avoidance

Anders Claesson, Sergey Kitaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2008

Genome Rearrangement Algorithms被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化されたパターン 3-1-4-2 と 2-41-3 を回避する順列と、β(1,0)-木と呼ばれるラベル付き平面木の間の全単射を確立している。β(1,0)-木は2スタック可換順列や平面図形と関連している。主な貢献は、木と順列の間で7つの統計量を直接対応付けることで、パターン回避順列とβ(1,0)-木の間の構造的関係を、2スタック可換順列よりも深く明らかにしている。

ABSTRACT

Abstract. The subject of pattern avoiding permutations has its roots in computer science, namely in the problem of sorting a permutation through a stack. A formula for the number of permutations of length n that can be sorted by passing it twice through a stack (where the letters on the stack have to be in increasing order) was conjectured by West, and later proved by Zeilberger. Goulden and West found a bijection from such permutations to certain planar maps, and later Cori, Jacquard and Schaeffer presented a bijection from these planar maps to certain labeled plane trees, called β(1, 0)-trees. We show that these labeled plane trees are in one-to-one correspondence with permutations that avoid the generalized patterns 3-1-4-2 and 2-41-3. We do this by establishing a bijection between the avoiders and the trees. This bijection translates 7 statistics on the trees into statistics on the avoiders. Among the statistics involved are ascents, left-to-right minima and right-toleft maxima for the permutations, and leaves and the rightmost and leftmost paths for the trees. Moreover, extensive computations of statistics on our avoiders, two-stack sortable permutations and the β(1, 0)-trees suggest that the avoiders are structurally more closely connected to the β(1, 0)-trees—and thus to the planar maps—than two-stack sortable permutations are. In connection with this we give a nontrivial involution on the β(1, 0)-trees, which specializes to an involution on unlabeled rooted plane trees, where it yields interesting results. Lastly, we conjecture the existence of a bijection between avoiders and twostack sortable permutations preserving at least four permutation statistics. 1.

研究の動機と目的

• 3-1-4-2 および 2-41-3 を回避する順列と、β(1,0)-木や平面図形などの既知の組合せ的対象との間の構造的関係を明確化すること。
• これらのパターン回避順列と β(1,0)-木の間で直接的な全単射を確立し、両者の構造的統計量を対応付けること。
• これらの回避順列と β(1,0)-木との関係が、回避順列と2スタック可換順列との関係よりも本質的であるかどうかを調査すること。
• 非自明な対合を β(1,0)-木に定義し、その結果として無標識根付き平面木への対合が得られることを示すこと。
• 少なくとも4つの順列統計量を保存する回避順列と2スタック可換順列の間の全単射の存在を予想すること。

提案手法

• 順列の構造から導かれる再帰的木構築規則を用いて、3-1-4-2 および 2-41-3 を回避する順列と β(1,0)-木の間の全単射を構築する。
• 順列における上昇、左から最小値、右から最大値といった統計量と、木における葉、左端パス、右端パスといった統計量の間で、7つの統計量を対応付ける。
• 既知の β(1,0)-木と平面図形の関係、および平面図形と2スタック可換順列の関係を活用し、構造的性質を比較する。
• β(1,0)-木に非自明な対合を定義し、木の構造を保ちつつ、無標識根付き平面木への対合を誘導する。
• 回避順列、2スタック可換順列、β(1,0)-木の広範な統計的計算を行い、分布パターンを比較し、構造的類似性を推論する。
• 回避順列と2スタック可換順列の間で、少なくとも4つの順列統計量を保存する全単射の存在を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-1-4-2 および 2-41-3 を回避する順列と β(1,0)-木との間に、直接的な組合せ的全単射が存在するか？
• RQ2 順列における上昇、左から最小値、右から最大値といった統計量は、β(1,0)-木における葉やパス構造といった統計量とどのように対応するか？
• RQ3 パターン回避順列は、β(1,0)-木（そしてそれにつながる平面図形）よりも2スタック可換順列と構造的により密接に関連しているか？
• RQ4 β(1,0)-木に構造を保ちつつ、無標識根付き平面木に意味のある対合を誘導する非自明な対合を定義できるか？
• RQ5 回避順列と2スタック可換順列との間に、少なくとも4つの順列統計量を保存する全単射が存在するか？

主な発見

• 3-1-4-2 および 2-41-3 を回避する順列と β(1,0)-木との間で直接的な全単射が確立され、構造的同型が確認された。
• 上昇、左から最小値、右から最大値（順列）、葉、左端パス、右端パス（木）という7つの統計量が、全単射のもとで正確に対応していることが示された。
• 統計的計算の結果、パターン回避順列は2スタック可換順列よりも β(1,0)-木と構造的に類似していることが示された。
• 非自明な β(1,0)-木への対合が構成され、それが無標識根付き平面木への意味のある対合に制限され、新たな組合せ的洞察が得られた。
• 本論文では、回避順列と2スタック可換順列との間に、少なくとも4つの順列統計量を保存する全単射の存在を予想し、より深い構造的関係を示唆している。