[論文レビュー] Stackable groups, tame filling invariants, and algorithmic properties of groups

Mark Brittenham, Susan Hermiller|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限生成群に、標準的な有限提示におけるバン・カーメン図の効果的で帰納的な構成を可能にする組合せ的構造を持つ『スタック可能な群』という概念を導入する。内在的および外在的トゥルーリング（tame）埋め込み不等式を定義し、これらはこれらの図の「段差の度合い」を捉える洗練された漸近的不変量として、リーマン的同形写像の下でリプシッツ同値性までに保たれることを示す。主な貢献は、スタック性を通じて、アルゴリズム的性質、書き換え系、およびほぼ凸性を統一的に結びつける枠組みを提供することであり、トゥーマスの群F、バウムスラッグ＝ショルスター群、一様幾何を持つ3次元多様体群などの群に応用可能である。

ABSTRACT

We introduce a combinatorial property for finitely generated groups called stackable that implies the existence of an inductive procedure for constructing van Kampen diagrams with respect to a canonical finite presentation. We also define algorithmically stackable groups, for which this procedure is an effective algorithm. This property gives a common model for algorithms arising from both rewriting systems and almost convexity for groups. We also introduce a new pair of asymptotic invariants that are filling inequalities refining the notions of intrinsic and extrinsic diameter inequalities for finitely presented groups. These tame filling inequalities are quasi-isometry invariants, up to Lipschitz equivalence of functions (and, in the case of the intrinsic tame filling inequality, up to choice of a sufficiently large set of defining relators). We show that radial tameness functions are equivalent to the extrinsic tame filling inequality condition, and so intrinsic tame filling inequalities can be viewed as the intrinsic analog of radial tameness functions. We discuss both intrinsic and extrinsic tame filling inequalities for many examples of stackable groups, including groups with a finite complete rewriting system, Thompson's group F, Baumslag-Solitar groups and their iterates, and almost convex groups. We show that the fundamental group of any closed 3-manifold with a uniform geometry is algorithmically stackable using a regular language of normal forms.

研究の動機と目的

• 有限生成群に対して、バン・カーメン図の帰納的かつアルゴリズム的な構成を可能にする新しい組合せ的性質—スタック性—を定義すること。
• 内在的および外在的トゥルーリング（tame）埋め込み不等式を導入し、これらは単なる直径の上限を越えて、バン・カーメン図の「段差の度合い」を測る洗練された漸近的不変量であることを示すこと。
• これらのトゥルーリング不等式が、リプシッツ同値性までにリーマン的同形写像の不変量であることを示し、群の不変量に対して堅牢な幾何的枠組みを提供すること。
• 有限完全書き換え系やほぼ凸性から得られる既存のアルゴリズム的および幾何的構成を、スタック可能な群という単一の枠組みで統一すること。
• 一様幾何を持つ任意の閉じた3次元多様体の基本群が、正則言語による標準形を用いて、アルゴリズム的にスタック可能であることを示すこと。

提案手法

• バン・カーメン図における関係式の置換を帰納的に可能にする、ケイリー図における組合せ的条件と標準形の集合を用いたスタック可能な群の定義。
• バン・カーメン図とホモトピーをペアにする「コンビューデッド・フィリング（combed fillings）」を導入し、ベースポイントからの粗い距離制御を通じて、トゥルーリング不等式を定義可能にする。
• 内在的および外在的トゥルーリング不等式が、粗い距離関数を用いて、図のピーク高さと段差の度合いを測ることで、古典的な直径不等式を洗練することを示す。
• ホモトピー路のリプシッツ制御と図の置換を用いて、トゥルーリング不等式がリーマン的同形写像の不変量であることを証明する。
• 有限完全書き換え系を備えた群、トゥーマスの群F、繰り返し適用されたバウムスラッグ＝ショルスター群、および可解的バウムスラッグ＝ショルスター群などの主要な群クラスに対して、明示的なスタック可能な構造を構築する。
• 一様幾何を持つ任意の閉じた3次元多様体の基本群が、正則言語による標準形を備え、したがってアルゴリズム的にスタック可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トゥーマスの群Fや書き換え系、ほぼ凸性を有する群を含む多様な群クラスにおいて、バン・カーメン図のアルゴリズム的構成をモデル化する統一的な組合せ的枠組みを開発できるか？
• RQ2 バン・カーメン図の「段差の度合い」は、内在的および外在的直径関数を超えてどのように定量化可能か？ そして、これを捉える幾何的不変量は何か？
• RQ3 提案されたトゥルーリング不等式はリーマン的同形写像の下で不変であるか？ もしそうなら、どの同値関係までに保たれるか？
• RQ4 ブリッドソンとライリーの径方向トゥルーリング関数と、新しい内在的トゥルーリング不等式の関係は何か？
• RQ5 3次元多様体群（一様幾何を持つものも含む）のような幾何的群クラスのうち、アルゴリズム的にスタック可能な構造を有するものはどれか？

主な発見

• スタック可能な群は、単位元を表す語のバン・カーメン図を効果的かつ帰納的に構成するアルゴリズムを備え、アルゴリズム的にスタック可能な群は語問題が決定可能である。
• 内在的および外在的トゥルーリング不等式は、リプシッツ同値性までにリーマン的同形写像の不変量であり、堅牢な幾何的不変量である。
• ブリッドソンとライリーの径方向トゥルーリング関数は、外在的トゥルーリング不等式の条件と同値であり、既存の不変量と新しい不変量の間の幾何的関係を確立する。
• 有限完全書き換え系を備えた群、トゥーマスの群F、繰り返し適用されたバウムスラッグ＝ショルスター群はすべてスタック可能であり、それらのトゥルーリング不変量は明示的に有界にできる。
• 一様幾何を持つ任意の閉じた3次元多様体の基本群は、正則言語による標準形を用いてアルゴリズム的にスタック可能である。
• 図の置換とホモトピーの持ち上げを用いたコンビューデッド・フィリングの構成により、外在的トゥルーリング性は2セルの置換の下でも保たれ、その境界は元のトゥルーリング不変量によって制御される。