[論文レビュー] Stackel separability for Newton systems of cofactor type

Stefan Rauch‐Wojciechowski, Claes Waksjö|ArXiv.org|Sep 18, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、関連する系が非正則変換によって正則ハミルトニアン系に変換可能であり、その結果、Stäckel形で分離可能となり、四則演算による解法が可能であることを示すことにより、係数型ニュートン系におけるStäckel分離可能性を確立する。分離座標は、線形ペンシル $ G - \mu\tilde{G} $ の特徴根として一般化され、楕円座標や放物座標を拡張するものであり、非正則で可積分なニュートン系に古典的分離可能性理論を拡張する。

ABSTRACT

A conservative Newton system (d/dt)^2 q = -grad V(q) in R^n is called separable when the Hamilton--Jacobi equation for the natural Hamiltonian H = (1/2) p^2 + V(q) can be solved through separation of variables in some curvilinear coordinates. If these coordinates are orhogonal, the Newton system admits n first integrals, which all have separable Stackel form with quadratic dependence on p. We study here separability of the more general class of Newton systems (d/dt)^2 q = -cof G^(-1) grad W(q) that admit n quadratic first integrals. We prove that a related system with the same integrals can be transformed through a non-canonical transformation into a Stackel separable Hamiltonian system and solved by qudratures, providing a solution to the original system. The separation coordinates, which are defined as characteristic roots of a linear pencil (G - mu G~) of elliptic coordinates matrices, generalize the well known elliptic and parabolic coordinates. Examples of such new coordinates in two and three dimensions are given. These results extend, in a new direction, the classical separability theory for natural Hamiltonians developed in the works of Jacobi, Liouville, Stackel, Levi-Civita, Eisenhart, Benenti, Kalnins and Miller.

研究の動機と目的

• 自然にハミルトニアンでない非正則ニュートン系へ、古典的ハミルトン＝ジャコビ分離可能性理論を拡張すること。
• 非正則系に対して明確なハミルトン＝ジャコビ分離可能性概念が欠如している問題に対処すること。
• $ n $ 個の二次的保存量を持つ係数ペア系が、正則でStäckel分離可能なハミルトニアン系に変換可能であることを示すこと。
• 分離座標を線形ペンシル $ G - \mu\tilde{G} $ の固有値として明示的に導出することにより、既知の楕円座標や放物座標を一般化すること。
• 変換された分離可能な系を用いて、四則演算による解法が可能である構成的手段を提供すること。

提案手法

• 係数ペアニュートン系を正則ハミルトニアン系に変換する非正則変換を提案し、その系がStäckel形で分離可能であることを示す。
• 系の運動エネルギーおよびポテンシャル構造を用いて、分離座標 $ x $ において、共共役運動量 $ y $ を用いた関連ハミルトニアン $ H(x,y) $ を定義する。
• 分離座標を、楕円座標行列 $ G $ および $ \tilde{G} $ を用いた線形ペンシル $ G - \mu\tilde{G} $ の特徴根として構成する。
• 変換された系が、代数的Stäckel条件を満たす $ n $ 個の二次的保存量をStäckel形式で持つことを示す。
• Levi-Civita分離可能性条件を適用し、ハミルトン＝ジャコビ方程式が独立な常微分方程式に分解されることを確認する。
• 対称多項式およびStäckel行列の理論を用いて、分離関数 $ f_k(u_k) $ の一般解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然にハミルトニアンでない非正則ニュートン系へ、Stäckel分離可能性を拡張可能か？
• RQ2 係数ペア系を正則でStäckel分離可能なハミルトニアン系に変換する体系的な方法は存在するか？
• RQ3 標準的な楕円座標や放物座標を越えて、一般係数ペア系の適切な分離座標は何か？
• RQ4 元の系の二次的保存量と、変換後の系におけるStäckel形式の保存量との関係は何か？
• RQ5 元のニュートン系の解は、変換後の分離可能系の解から回復可能か？

主な発見

• 任意の係数ペア系が、正則ハミルトニアン系にStäckel形で分離可能な形に変換可能な非正則変換が存在する。
• 分離座標は、線形ペンシル $ G - \mu\tilde{G} $ の特徴根として定義され、古典的楕円座標や放物座標を一般化する。
• 変換された系は、Stäckel形式の $ n $ 個の二次的保存量を有し、変数分離による可積分性が保証される。
• 元のニュートン系の解は、変換後の分離可能系の解から時間のスケーリングを施すことによって得られる。
• 分離系におけるポテンシャルは、PDE系を満たし、一般解 $ V = \sum \psi_{1k} f_k(u_k) $ の形で表される。ここで $ \psi_{1k} $ は逆Stäッケル行列の成分である。
• 本手法により、四則演算による構成的解法が可能となり、古典的ハミルトン＝ジャコビ法をより広い種類の力学系に拡張する。