[論文レビュー] Stacks in Representation Theory. What is a continuous representation of an algebraic group ?

Joseph Bernstein|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数群の表現を代数的スタック、特にスタック $B\mathcal{G} = \text{pt}/\mathcal{G}$ 上の層として解釈することにより、表現論における新しい枠組みを提案する。これにより、連続表現の標準的カテゴリを、$\mathcal{G}$ のすべての純内形式の既約表現を統一するより大きなカテゴリ $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ に拡張する。主な結果は、$\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ の既約対象が、$G = \mathcal{G}(F)$ のすべての純内形式 $G_i$ の既約表現の直和集合に自然に同一視されることである。

ABSTRACT

In this note I introduce a new approach to (or rather a new language for) representation theory of groups. Namely, I propose to consider a (complex) representation of a group $G$ as a sheaf on some geometric object (a stack). This point of view necessarily leads to a conclusion that the standard approach to (continuous) representations of algebraic groups is ideologically inconsistent. I propose a way to modify this approach using sheaves on stacks. In new version I corrected some misprints and added an explanation how stack's approach is related to Vogan's picture of representations.

研究の動機と目的

• 局所体または有限体上の代数群の連続表現に対する標準的アプローチに内在する哲学的不整合を解消すること。
• 代数的スタックを用いた幾何的枠組みを提案し、表現の直感的構造をよりよく捉えること。
• 連続表現のカテゴリ $Rep(G)$ を、$G$ のすべての純内形式からの表現を組み込むより大きなカテゴリ $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ に拡張すること。
• スタック $B\mathcal{G}$ 上の層と、さまざまな $G_i$-空間上の $G_i$-不変層との間の自然な同倣を確立することで、既約表現の分類を統一すること。

提案手法

• 代数的スタック、特に $B\mathcal{G} = \text{pt}/\mathcal{G}$ 上の層として表現をモデル化し、$F$ 上のスキームのサイトにエタール位相またはスムーズ位相を用いる。
• スタック $B\mathcal{G}$ 上の層のカテゴリ $Sh(B\mathcal{G})$ を、群ガロア群 $B\mathcal{G}(F)$ から複素数ベクトル空間のカテゴリへの関手のカテゴリとして定義する。
• スタックの降下性質を用いて、スタック $\mathcal{X}$ の $F$-点を、有限ガロア拡張 $L/F$ における $L$-点上のガロア作用の固定点に結びつける。
• 商スタック $\mathcal{X} = \mathcal{Z}/\mathcal{G}$ に対して、カテゴリ $Sh(\mathcal{X})$ を $\prod_i Sh_{G_i}(Z_i)$ として実現する。ここで $G_i = \mathcal{G}_i(F)$ であり、$\mathcal{G}_i$ は $\mathcal{G}$ の純内形式である。
• ヒルベルトの定理90を用いて、$\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ の研究を単一の群 $P \cong GL(n)$ に還元し、適切な空間 $W$ 上の $P$-不変層への還元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、代数群 $\mathcal{G}$ に対する局所体や有限体 $F$ 上の連続表現の標準的カテゴリ $Rep(G)$ は哲学的に不整合を含むのか？
• RQ2 局所体や有限体 $F$ 上の代数群 $\mathcal{G}$ の表現を、$G$ のすべての純内形式にわたって自然に統一する方法は何か？
• RQ3 既約表現が内形式の直和から自然に生じるように、表現を定義する適切な幾何的対象（スタック）は何か？
• RQ4 トーラスの $F$-点上の $G_i$-不変層を用いて、商スタック $\mathcal{X} = \mathcal{Z}/\mathcal{G}$ 上の層をどのように記述できるか？
• RQ5 ガロア降下は、ガロア拡張 $L/F$ におけるスタックの $L$-点と $F$-点との関係をどのように規定するか？

主な発見

• $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ のスタック的 $G$-加群のカテゴリは、自然にスタック $B\mathcal{G}$ 上の層のカテゴリ $Sh(B\mathcal{G})$ に同値であり、表現の幾何的解釈を提供する。
• $Sh(B\mathcal{G})$ は、$\mathcal{G}$ の純内形式 $\mathcal{G}_i$ の $F$-点 $G_i$ と関連する $G_i$-空間 $Z_i$ を用いて、積 $\prod_i Sh_{G_i}(Z_i)$ に同値である。
• $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ の既約対象の集合は、自然に直和 $\coprod_i \text{Irr}(G_i)$ に同一視され、異なる内形式の表現を別個に取り扱う必要がなくなる。
• 場合 $\mathcal{Z} = \text{pt}$ では、既約スタック的 $G$-加群は、$G$ のすべての純内形式の既約表現の直和にちょうど一致する。
• 埋め込み $\mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{P} \cong GL(n)$ を用いて、ヒルベルトの定理90により $GL(n)$-不変層への還元が可能となり、計算の簡略化が可能になる。