[論文レビュー] Stacks of cyclic covers of projective spaces

Alessandro Arsie, Angelo Vistoli|ArXiv.org|Jan 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ブラウアー＝セヴェリ多様体の均一な巡回被覆のスタックを導入し、それらが表現の開部分集合の商スタックとして実現可能であることを示している。滑らかな均一な巡回被覆をパラメトライズする開部分スタックの整数ピカード群は、$ r(rd-1)^n \gcd(d,n+1) $ の巡回群であることが計算され、既知の双曲的曲線およびK3表面の二重被覆に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

We define stacks of uniform cyclic covers of Brauer-Severi schemes, proving that they can be realized as quotient stacks of open subsets of representations, and compute the Picard group for the open substacks parametrizing smooth uniform cyclic covers. Moreover, we give an analogous description for stacks parametrizing triple cyclic covers of Brauer-Severi schemes of rank 1, which are not necessarily uniform, and give a presentation of the Picard group for substacks corresponding to smooth triple cyclic covers.

研究の動機と目的

• ブラウアー＝セヴェリ多様体の均一な巡回被覆のスタックを、商スタックとして定義し、研究すること。
• 滑らかな均一な巡回被覆をパラメトライズする開部分スタックの整数ピカード群を計算すること。
• 射影直線の非均一な三重巡回被覆へと枠組みを拡張すること。
• 二重次数の計算を用いて、滑らかな三重巡回被覆のピカード群を完全に記述すること。
• 群作用と等長幾何を用いて、曲線およびK3表面のモジュライに関する先行結果を一般化すること。

提案手法

• μ_r-作用と層の分解を用いて定義される均一な巡回被覆のカテゴリカルな枠組みを用いる。
• スタックを、表現空間の開部分集合 $U$ と一般線形群および乗法的群の直積 $G$ の商スタック $[U/G]$ として表現する。
• キルワンの手続きを用いて、滑らかでない部分の自然なコンパクト化を示唆する。
• 射影空間上の等長チョン環の技術と二重次数の計算を用いて、除数類を計算する。
• パルディーニの縮小された構成データとミリの理論を用いて、非均一な場合を分析する。
• 判別式および消滅点の次数の明示的計算を通じて、ピカード群内の関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウアー＝セヴェリ多様体の均一な巡回被覆のスタックは、どのように商スタックとして記述できるか？
• RQ2 滑らかな均一な巡回被覆のスタックの整数ピカード群の構造は何か？
• RQ3 射影直線の非均一な三重巡回被覆へと枠組みを拡張可能か？
• RQ4 射影直線 $\mathbb{P}^1$ 上の滑らかな三重巡回被覆のスタックのピカード群は何か？
• RQ5 判別式および消滅点の二重次数は、ピカード群の計算にどのように寄与するか？

主な発見

• 次元 $n$ のブラウアー＝セヴェリ多様体上の次数 $r$ の滑らかな均一な巡回被覆のスタック $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(n,r,d)$ は、表現の開部分集合 $U$ とある群 $G$ による商スタック $[U/G]$ に同型である。
• スタック $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(n,r,d)$ の整数ピカード群は、$ r(rd-1)^n \gcd(d,n+1) $ の巡回群である。
• 種数 $g$ の双曲的曲線に対して、$\mathcal{H}_g$ のピカード群は、$g$ が偶数のとき $2(2g+1)$ の巡回群、奇数のとき $4(2g+1)$ の巡回群である。
• $\mathbb{P}^1$ 上の滑らかな三重巡回被覆のスタック $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(1,3;d_1,d_2)$ は、商スタックとしても記述可能であり、そのピカード群は二重次数の関係によって記述可能である。
• $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(1,3;d_1,d_2)$ のピカード群は、判別式および消滅点から導かれる3つの関係で生成され、明示的な二重次数は $d_1$ と $d_2$ の偶奇に依存する。
• 計算により、判別式超曲面 $\Delta_1$ の類は、$d_1$ が奇数のとき $2(2d_1 - d_2 - 1)v_1 - (d_2 + 2)(2d_1 + d_2 - 1)v_2$ であり、$d_1$ と $d_2$ がともに偶数のときは $2(2d_1 - d_2 - 1)v_1 - 4(2d_1 - d_2 - 1)v_2$ であることが判明した。