[論文レビュー] Stacks of ramified Galois covers

Fabio Tonini|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限群スキームに対する分岐ガロア被覆のスタックを研究し、非アーベル群（例：$\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ や $S_3$）の $G$-Cov スタックの構造に焦点を当てる。$G$-Cov が代数的かつファイニット・プレゼンテーションであることを確立し、特に曲面の $S_3$-被覆に対して、幾何的およびコhomオロジカルな不変量を明示的に提供する。これには、基底曲面および関連するベクトルバンドルの不変量で表される $K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$、$p_g(X)$ の公式が含まれる。

ABSTRACT

Given a finite, flat and finitely presented group scheme $G$ over some base $S$, we introduce the notion of ramified $G$-covers and study the moduli stack $G$-Cov they form. The thesis is divided in three parts. The first one concerns the case when $G$ is a diagonalizable group scheme and it essentially coincides with arxiv:1106.2347. In the second part I deal with the general case. Assuming that the base S is affine and given an $S$-scheme $T$, I interpret $G$-covers of $T$ as particolar (lax) monoidal functors from the category of finite, $G$-equivariant locally free sheaves over $S$ to the category of finite locally free sheaves over $T$, extending the classical Tannakian correspondence between $G$-torsors and strong monoidal functors as above. Using this point of view, I prove that $G$-Cov is always reducible if $G$ is a non-abelian linearly reductive group. When $G$ is constant and tame I also give a criterion to detect when a $G$-cover of a regular in codimension one, integral scheme has regular in codimension one total space in terms of the functor associated with the cover. In the last part I focus on the case $G=S_3$, prove that $S_3$-Cov has exactly two irreducible components and describe the principal one. I also describe particular open loci of $S_3$-Cov, that is particular families of $S_3$-covers, classify $S_3$-covers of regular schemes whose total space is regular and compute the invariants of $S_3$-covers of smooth surfaces.

研究の動機と目的

• 有限平坦群スキーム $G$ に対する $G$-ガロア被覆のスタック $G$-Cov の代数的および幾何的構造を記述すること。
• 既知のアーベル群（例：$\mu_n$）に対する $G$-被覆の記述を、特に $S_3$ および $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のような非アーベル群へと拡張すること。
• 基底曲面上のデータを用いて、$S_3$-被覆の曲面に対して明示的な不変量（例：$K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$、$p_g(X)$）を提供すること。
• 特に codimension 1 において、スタック $G$-Cov の既約成分および正則性性質を分析すること。
• スタック $G$-Cov が基底スキーム $S$ 上で代数的かつファイニット・プレゼンテーションであることを確立すること。

提案手法

• スタックおよび代数的幾何の枠組みを用い、$f: X \to Y$ が有限かつ平坦で、$G$-不変であり、$f_*\mathcal{O}_X$ が余代数として局所的に正則表現 $\mathcal{O}_Y[G]$ に同型であるような $G$-被覆を定義する。
• 対角化可能群スキームおよび $M$-graded 代数の理論を用い、特に $M = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ の場合の $\textup{D}(M)$-被覆を記述する。
• 関連する代数の生成元の数に注目し、不変量 $h: |\textup{D}(M)\text{-Cov}| \to \mathbb{N}$ を用いて被覆を分類する。特に $h \leq 2$ の場合に注目する。
• ベクトルバンドル $\mathcal{F}$ と写像 $\delta: \det\mathcal{F} \to \mathcal{L}$ を用いた三重被覆構成により $S_3$-被覆を分析する。幾何的局所は $\alpha$、$\beta$、$\delta$ の非退化性条件によって定義される。
• リーマン・ロッホおよび層コホモロジーを用いて、$K_Y$、$c_1(\mathcal{F})$、$c_2(\mathcal{F})$、$\chi(\mathcal{O}_Y)$ を用いた $K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$、$p_g(X)$ の公式を導出する。
• 因子分解 $X \to X' \to Y$（それぞれ次数 2 および 3 の被覆）を用い、付随する公式および $X'$ 上の交点理論により canonical 不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル的有限群スキーム（例：$S_3$）に対して、スタック $G$-Cov を代数的および幾何的にどのように記述できるか。
• RQ2 基底曲面上のデータを用いて、$S_3$-被覆の曲面に対する主要な不変量（例：$K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$、$p_g(X)$）はどのように表されるか。
• RQ3 $S_3$-Cov の既約成分は何か。それらは基底の幾何および関連するベクトルバンドルとどのように関係しているか。
• RQ4 特に $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-被覆に対して、$G$-被覆が codimension 1 で正則または正規であるための条件は何か。
• RQ5 スタック $G$-Cov の構造は、線型的に再帰的群に対する等変層およびモノイダル関手の理論とどのように関係しているか。

主な発見

• スタック $G$-Cov は基底スキーム $S$ 上で代数的かつファイニット・プレゼンテーションであり、$\textup{B}G$（$G$-トーラスのスタック）は $G$-Cov の開部分スタックである。
• 曲面の $S_3$-被覆に対して、正規化された canonical 除数の平方の公式は、因子分解およびリーマン・ロッホから得られる：$K_X^2 = 6K_Y^2 - 8c_1(\mathcal{F})K_Y + 4c_1(\mathcal{F})^2 - 6c_2(\mathcal{F}) - \frac{10}{3}\mu^2 - 4\mu K_Y + 2C^2 + 4CK_{X'}$。
• 構造層のオイラー特性は $\chi(\mathcal{O}_X) = \chi(\mathcal{O}_Y) + \chi(\mathcal{F}) + \chi(\mathcal{L})$ を満たし、$\chi(\mathcal{L})$ は $\mu$ および $c_1(\mathcal{F})$ を用いて計算される。
• 幾何的種数は $p_g(X) = p_g(Y) + h^2(\mathcal{F})$ で与えられ、$X$ の不正則性はベクトルバンドル $\mathcal{F}$ のコホモロジーと関連づけられる。
• 主な既約成分 $\mathcal{Z}_{S_3}$ は、写像 $\delta: \det\mathcal{F} \to \mathcal{L}$ の非退化性および $\beta: \textup{Sym}^2\mathcal{F} \to \mathcal{F}$ の非零性によって特徴づけられる。
• 正則な $S_3$-被覆とは、関連する三重被覆が滑らかで、かつ基底が codimension 1 で正則である場合であり、このような被覆は $Y$ および $\mathcal{F}$ の不変量を用いた $K_X^2$ および $\chi(\mathcal{O}_X)$ の明示的公式を満たす。