[論文レビュー] Standard classes on the blow-up of P^n at points in very general position

Antonio Laface, Luca Ugaglia|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非常に一般な位置にある点の blown-up における線形系統の次元を計算するための仮説的アルゴリズムと Maple コードを提案する。主に標準形と $(-1)$-曲線を用いた非特異的および特異的クラスの分類に焦点を当てる。主な貢献は、$mathbb{P}^3$ における $h^0(D)$ の仮説的公式であり、二次形式 $q(D)$ を根拠としている。$r \leq 8$ および $m_i \leq 4$ の場合に証明されており、$D = L_3(19;9^9)$ の場合に $h^0(D) = 60$ であるが、予想される次元は 55 であるため、その例は確認済みである。

ABSTRACT

We study conjectures on the dimension of linear systems on the blow-up of P^2 and P^3 at points in very general position. We provide algorithms and Maple codes based on these conjectures.

研究の動機と目的

• $mathbb{P}^n$ の非常に一般な位置にある点の blown-up における線形系統の次元 $h^0(D)$ を計算するための仮説的アルゴリズムを開発すること。
• 特に $mathbb{P}^2$ において、特異的線形系統と負の交差をもつ $(-1)$-曲線の存在との関係を確立すること。
• $mathbb{P}^3$ にこれらの仮説を拡張し、$q(D)$ と二番目に大きな重複度の和に対する次数 $d$ の相対関係に基づく特異性の基準を提案すること。
• 具体的なケースにおける $h^0(D)$ の計算と仮説の検証のため、Maple プログラムによる実用的計算ツールを提供すること。
• 特異性により $h^0(D)$ が予想される次元を上回る場合があること、およびそのようなケースが仮説的公式で捉えられるかどうかを例を通じて検証すること。

提案手法

• $X$ の Picard 群上に二次形式 $q(D) = (d+1)^2 - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^r m_i(m_i+1)$ を定義する。ここで $X$ は $mathbb{P}^n$ の $r$ 個の点における blown-up である。
• 小刻みな変更と被約自己同型を用いて、$D = dH - \sum m_i E_i$ のような除数類を標準形と準標準形に正規化する概念を用いる。
• $(-1)$-曲線基準を適用する：クラス $D$ が特異的であるとは、ある $(-1)$-曲線 $E$ に対して $D \cdot E \leq -2$ が成り立つことと同値であり、これは $mathbb{P}^2$ における S.H.G.H. 予想と等価である。
• Maple に `quad` というアルゴリズムを実装し、任意のクラスを $q(D') > 0$ を満たす標準形に還元し、$h^0(D)$ を保存する。
• Maple に `dim3` というアルゴリズムを実装し、Conjecture 6.3 を用いて $h^0(D)$ を計算する。Conjecture 6.3 では、$q(D) \leq 0$ の場合 $h^0(D) = \chi(D)$ であり、$q(D) > 0$ の場合に修正された公式を用いる。
• リーマン・ロッホとセール双対性を用い、特に $D|_Q$ が非特異的である場合に $h^0(D)$ を $\chi(D)$ と $q(D)$ に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $mathbb{P}^2$ において、有効なクラス $D$ が特異的であるとは、$D \cdot E \leq -2$ を満たすある $(-1)$-曲線 $E$ と負に交わることと同値であるか？
• RQ2 $mathbb{P}^3$ において、標準形にあるクラス $D$ が $q(D) \leq 0$ のとき非特異的であり、$d < m_1 + m_2 - 1$ かつ $q(D) > 0$ のとき特異的であるか？
• RQ3 $mathbb{P}^3$ において、Conjecture 6.3 の仮説的公式を用いて $h^0(D)$ を信頼性高く計算できるか？
• RQ4 `quad` アルゴリズムは、常に $h^0(D)$ を保存しつつ、$q(D') > 0$ を満たす標準形にクラスを還元するか？
• RQ5 $h^0(D)$ が予想される次元 $\chi(D)$ を上回るケースが存在するか？そのようなケースは仮説的公式で捉えられるか？

主な発見

• $D = L_3(19;9^9)$ の場合、`dim3` アルゴリズムにより $h^0(D) = 60$ が計算されたが、$\chi(D)$ を用いた予想される次元は 55 であり、特異性が示唆される。
• Maple の関数 `quad` は $[19,9,9,9,9,9,9,9,9,9]$ を $[15,7,7,7,7,7,7,7,7,7]$ に還元し、還元後の $q(D) > 0$ を示している。
• $q(D) \leq 0$ のとき $h^0(D) = h^0(D - Q)$ であるという仮説は、$mathbb{P}^2$ における 10 点に対する S.H.G.H. 予想が成り立つものと仮定すれば証明されている。
• $D = L_2(96;34^8)$ の場合、準標準形は $[0, -2, 8]$ であり、$D$ が $(-1)$-クラスの和であることを示唆するが、`Dim2` は $h^0(D) = 1$ を返しており、矛盾または特異ケースの可能性がある。
• Conjecture 6.3 の公式は、$r \leq 8$ および任意の $r$ に対して $m_i \leq 4$ の場合に証明されており、これらのケースにおけるアプローチの妥当性が裏付けられている。
• $L_3(2m+1; m^9)$ のクラスで $m \geq 8$ の場合、$q(D) \leq 0$ を満たし、$h^0(D) = 60$ はすべての $m$ に対して一定であるが、予想される次元は $m$ と共に増加するため、特異性が顕在化している。