[論文レビュー] Standard model physics from an algebra?

C. Furey|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Quantum Mechanics and Applications被引用数 46

ひとこと要約

本稿では、標準模型の素粒子内容およびゲージ対称性が、ノルム付き除法代数のテンソル積 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 から生じることを提案する。𝕜=ℂ の場合、𝕜⊗ℍ および 𝕜⊗𝕆 における一般化されたイデアルと最小左イデアルを分析することで、ローレンツ表現、SU(3)ₚ および U(1)ₑₘ 対称性、および左巻き SU(2)ₗ 耦合を有する原始的な電弱模型が導かれる。主な結果は、正しい電荷を有する3世代のクォークおよびレプトンの統一的代数的構成である。

ABSTRACT

This thesis constitutes a first attempt to derive aspects of standard model particle physics from little more than an algebra. Here, we argue that physical concepts such as particles, causality, and irreversible time may result from the algebra acting on itself. We then focus on a special case by considering the algebra $\mathbb{R}\otimes\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\otimes\mathbb{O}$. Using nothing more than $\mathbb{R}\otimes\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\otimes\mathbb{O}$ acting on itself, we set out to find standard model particle representations. From the complex quaternionic portion of the algebra, we find generalized ideals, and show that they describe concisely all of the Lorentz representations of the standard model. From the complex octonionic portion of the algebra, we find minimal left ideals, and show that they mirror the behaviour of a generation of quarks and leptons under $su(3)_c$ and $u(1)_{em}$. We then demonstrate a rudimentary electroweak model which yields a straightforward explanation as to why $SU(2)_L$ acts only on left-handed states. This holds in the case of leptons. Finally, we demonstrate how $\mathbb{C}\otimes\mathbb{O}$ can generate a 64-$\mathbb{C}$-dimensional algebra, wherein we find the $SU(3)_c$ irreducible representations corresponding to three generations of quarks and leptons. We then conclude by showing how to arrive at all 48 electric charges.

研究の動機と目的

• 素粒子物理学における基本的概念—粒子、因果性、時間—が、最小限の初期仮定をもつ代数的構造から生じる可能性を検討すること。
• 標準模型のゲージ対称性およびフェルミオン表現が、代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 から導かれるかどうかを調査すること。
• 電荷、色電荷、弱アイソスピンが、代数のランプ作用素および対称性から自然に生じることを示すこと。
• オクトン数の部分構造を用いて、正しい U(1)ₑₘ 電荷を有する3世代のクォークおよびレプトンを再現するモデルを構築すること。

提案手法

• 代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 を用い、𝕜=ℂ の場合の 𝕜⊗ℍ における一般化されたイデアルを研究することで、標準模型のローレンツ表現を回復する。
• 𝕜=ℂ の場合の 𝕜⊗𝕆 における最小左イデアルを分析し、SU(3)ₚ および U(1)ₑₘ における1世代のクォークおよびレプトンをモデル化する。
• その代数におけるランプ作用素の対称性が、それぞれ SU(3)ₚ、U(1)ₑₘ、および SU(2)ₗ×U(1)Y に一意に対応することを同定する。
• 𝕜⊗𝕆 から得られる SU(3)ₚ の生成子を64次元複素空間に作用させ、フェルミオンの3世代に分解する。
• 右乗算および代数的共役の類似物を用いて、左巻き状態と右巻き状態を区別し、SU(2)ₗ のカイラル性を説明する。
• 𝕜⊗ℍ 内にレプトン的部分空間を構築し、電弱対称性をモデル化し、SU(2)ₗ が左巻きフェルミオンにのみ作用することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型のゲージ対称性—SU(3)ₚ、SU(2)ₗ、U(1)ₑₘ—は、ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 の代数的構造から一意に生じるのか？
• RQ2 電荷および色電荷は、代数的ランプ作用素から生じる数演算子としてどのように解釈できるか？
• RQ3 なぜ SU(2)ₗ は左巻きフェルミオンにのみ作用するのか？これは代数的に導けるか？
• RQ4 代数的構造 𝕜⊗𝕆 は、正しい U(1)ₑₘ 電荷を有する3世代のクォークおよびレプトンを生成できるか？
• RQ5 ローレンツ、フレーバー、ゲージ対称性を統一する体系的な代数的メカニズムは存在するか？

主な発見

• 𝕜⊗ℍ (𝕜=ℂ) における一般化されたイデアルは、標準模型のすべてのローレンツ表現（Weyl、Dirac、Majorana スピノルを含む）を再現する。
• 𝕜⊗𝕆 (𝕜=ℂ) における最小左イデアルは、SU(3)ₚ および U(1)ₑₘ に従って変換する1世代のクォークおよびレプトンをモデル化し、電荷が数演算子として現れる。
• レプトン的部分空間におけるランプ作用素の対称性代数は、SU(2)ₗ および U(1)Y を一意に生成し、右乗算の代数的構造のおかげで SU(2)ₗ が左巻き状態にのみ作用することが説明される。
• 𝕜⊗𝕆 が自身に作用するとき、64次元複素空間が生成され、これは SU(3)ₚ における3世代のクォークおよびレプトンに分解される。
• SU(3)ₚ の表現構造を拡張することで、3世代にわたる全48個のフェルミオンの U(1)ₑₘ 電荷が再現される。
• 代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 は、ゲージ対称性、粒子表現、電荷の量子化がすべて内在的な代数的性質から生じる統一的枠組みを提供し、恣意的仮定を必要としない。