[論文レビュー] Star fows and multisingular hyperbolicity

Christian Bonatti, Adriana da Luz|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、次元 ≥5 の多様体上のスター・フローにおける、異なるインデックスをもつ正則軌道および特異点のハイパーボリック性を統一する一般化されたハイパーボリック構造、すなわちマルチシングュラー・ハイパーボリシティを導入する。本稿は、マルチシングュラー・ハイパーボリシティがスター性を含意することを証明し、次元 ≥5 において一般にスター・フローはマルチシングュラー・ハイパーボリシティであることを示し、古典的特異ハイパーボリシティが高次元において抱える制限を解消する。

ABSTRACT

A vector field X is called a star flow if every periodic orbit, of any vector field C1-close to X, is hyperbolic. It is known that the chain recurrence classes of a generic star flow X on a 3 or 4 manifold are either hyperbolic or singular hyperbolic (see [MPP] for 3-manifolds and [GLW] on 4-manifolds). As it is defined, the notion of singular hyperbolicity forces the singularities in the same class to have the same index. However, in higher dimension (i.e $\geq 5$) \cite{BdL} shows that singularities of different indices may be robustly in the same chain recurrence class of a star flow. Therefore the usual notion of singular hyperbolicity is not enough for characterizing the star flows. We present a form of hyperbolicity (called multi-singular hyperbolic) which makes compatible the hyperbolic structure of regular orbits together with the one of singularities even if they have different indices. We show that multisingular hyperbolicity implies that the flow is star, and conversely, there is a C1-open and dense subset of the an open set of star flows which are multisingular hyperbolic. More generally, for most of the hyperbolic structures (dominated splitting, partial hyperbolicity etc...) well defined on regular orbits, we propose a way for generalizing it to a compact set containing singular points.

研究の動機と目的

• 次元 ≥5 の多様体上におけるスター・フローの特徴付けに失敗する古典的特異ハイパーボリシティの問題を解決する。特に、同じチェーン再帰クラス内に異なるインデックスをもつ特異点が安定的に共存する状況を扱う。
• 正則軌道および異なるインデックスをもつ特異点の両方のハイパーボリシティを同時に扱える一般化されたハイパーボリック構造、すなわちマルチシングュラー・ハイパーボリシティを構築する。
• マルチシングュラー・ハイパーボリシティがスター性を含意することを示し、これにより、小さな C¹-摂動に対してもすべての周期軌道が安定にハイパーボリックであることを保証する。
• 次元 ≥5 の多様体上におけるスター・フローの空間において、マルチシングュラー・ハイパーボリックスター・フローの集合が C¹-開かつ稠密であることを証明する。
• 特異点を含むコンパクトな不変集合に対して、ドミネートド・スプリットリングおよび部分的ハイパーボリシティの枠組みを一般化し、古典的ハイパーボリシティ理論を特異点を含む状況にまで拡張する。

提案手法

• 再パラメトライズド線形・ポアンカレ・フローを介して、異なるインデックスの特異点と整合するプロジェクトライズド接バンドル上でのハイパーボリック構造としてマルチシングュラー・ハイパーボリシティを定義する。
• 異なるインデックスの特異点を結ぶ軌道に沿って、局所的なハイパーボリック・フラッグ（安定および不安定）を構成し、安定および不安定分布の横断的交差を保証する。
• 全空間に接バンドルの分解がない状況においても、法線 bundle 上の線形・ポアンカレ・フローを用いてハイパーボリシティを定義し、特異ハイパーボリシティの手法を適応する。
• ベクトル場の構成における接合写像に開かつ稠密な条件を課すことにより、フラッグの横断的交差を保証し、拡張された最大不変集合のハイパーボリシティを保証する。
• 複数の異なるインデックスをもつ特異点を含むチェーン再帰クラスの近傍における最大不変集合が、再パラメトライズド線形・ポアンカレ・フローのもとでハイパーボリックであることを証明する。
• プロジェクトライズド・フローの構造と異なるインデックスの特異点の挙動を組み込むことで、特異点を含むコンパクト集合に対してドミネートド・スプリットリングおよび部分的ハイパーボリシティの概念を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的特異ハイパーボリシティは、同じチェーン再帰クラス内に異なるインデックスの特異点が安定的に共存する次元 ≥5 の多様体上におけるスター・フローを特徴付けるために拡張可能か？
• RQ2 正則軌道および異なるインデックスをもつ特異点の両方のハイパーボリシティを同時に捉える統一されたハイパーボリック構造が、1つの不変集合内で存在するか？
• RQ3 マルチシングュラー・ハイパーボリシティはスター性を含意するか？ これにより、近傍のベクトル場のすべての周期軌道がハイパーボリックのままであることが保証されるか？
• RQ4 次元 ≥5 の多様体上におけるすべてのスター・フローの空間において、マルチシングュラー・ハイパーボリックスター・フローの集合が C¹-開かつ稠密か？
• RQ5 ドミネートド・スプリットリングおよび部分的ハイパーボリシティの枠組みは、異なるインデックスの特異点を含むコンパクトな不変集合へと一般化可能か？

主な発見

• マルチシングュラー・ハイパーボリシティは、再パラメトライズド線形・ポアンカレ・フローを介して、正則軌道および異なるインデックスをもつ特異点のハイパーボリシティを統一するプロジェクトライズド接バンドル上でのハイパーボリック構造として定義される。
• 本稿は、マルチシングュラー・ハイパーボリシティがスター性を含意することを証明している：任意のマルチシングュラー・ハイパーボリックなベクトル場は、C¹-摂動に対してもすべての周期軌道がハイパーボリックである。
• 次元 ≥5 の多様体上におけるスター・フローの空間において、C¹-開かつ稠密な部分集合が、マルチシングュラー・ハイパーボリックである。
• 2つの異なるインデックス（σ₀ および σ₁）をもつ特異点を含む例の構成により、チェーン再帰クラスが特異ハイパーボリシティではないがマルチシングュラー・ハイパーボリシティであることが示され、新しい枠組みの必要性が裏付けられる。
• チェーン再帰クラスの近傍 U における最大不変集合 B(U,X) が再パラメトライズド線形・ポアンカレ・フローのもとでハイパーボリックであることが示され、安定および不安定フラッグが軌道に沿って延長され、横断的に交差する。
• ドミネートド・スプリットリングおよび部分的ハイパーボリシティの概念が、異なるインデックスをもつ特異点を含むコンパクト集合へと一般化され、古典的特異ハイパーボリシティを超えたハイパーボリシティ理論の適用範囲が拡張された。