[論文レビュー] Star of David and other patterns in the Hosoya-like polynomials triangles

Rigoberto Flórez, Robinson A. Higuita+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化フィボナッチ多項式（GFP）を用いてホゾヤの数値的三角形を多項式列へ一般化し、GFPの積として構成されるホゾヤ風多項式三角形を構築する。多数のGFP族において、六角形パターン内の交互な頂点のGCDが等しい「ダブルスターの性質」を確立し、長方形およびジグザグパターンを用いた幾何的証明により、カッシーニの恒等式、カタランの恒等式、ジョンソンの恒等式を導出する。また、この性質を満たす三角形の分類を行い、x=1における評価により、フィボナッチ、ペル、チェビシェフ多項式などの既知の数列に応用を示す。

ABSTRACT

In this paper we first generalize the numerical recurrence relation given by Hosoya to polynomials. Using this generalization we construct a Hosoya-like triangle for polynomials, where its entries are products of generalized Fibonacci polynomials (GFP). Examples of GFP are: Fibonacci polynomials, Chebyshev polynomials, Morgan-Voyce polynomials, Lucas polynomials, Pell polynomials, Fermat polynomials, Jacobsthal polynomials, Vieta polynomials and other familiar sequences of polynomials. For every choice of a GFP we obtain a triangular array of polynomials. In this paper we extend the star of David property, also called the Hoggatt-Hansell identity, to this type of triangles. We also establish the star of David property in the gibonomial triangle. In addition, we study other geometric patterns in these triangles and as a consequence we give geometric interpretations for the Cassini's identity, Catalan's identity, and other identities for Fibonacci polynomials.

研究の動機と目的

• 一般化フィボナッチ多項式（GFP）に基づくホゾヤ風多項式三角形への「ダブルスターの性質」（ホーガット＝ハンセル恒等式）の拡張を図ること。
• ホゾヤ多項式三角形内の構造的パターン（長方形、ジグザグ）を用いて、カッシーニの恒等式、カタランの恒等式、ジョンソンの恒等式といった古典的恒等式の幾何的解釈と証明を提供すること。
• どのGFP族がダブルスターGCD性質を満たすホゾヤ多項式三角形を生成するかを分類すること。
• GFPをx=1で評価することで、これらの三角形の数値的例を探索し、OEISに登録された既知の整数列と関連付けること。
• フェルマー多項式やペル多項式などの特定のGFPにおける係数のGCDパターンを特定・分析し、それらが既知の整数列とどのように関連するかを同定すること。

提案手法

• 2階の線形再帰により一般化フィボナッチ多項式（GFP）を定義：$ G_n(x) = d(x)G_{n-1}(x) + g(x)G_{n-2}(x) $、初期多項式 $ p_0(x), p_1(x) $ を用い、$ \gcd(d(x),g(x))=1 $ を満たす。
• 三角形配列に、$ H_{r,k} = G_k(x) G_{r-k}(x) $ を配置することで、ホゾヤ風多項式三角形を構築する。
• GFPのビネの公式：$ G_n(x) = t_1 a^n(x) + t_2 b^n(x) $ を用い、$ a(x), b(x) $ を方程式 $ z^2 - d(x)z - g(x) = 0 $ の根とすることで代数的構造を分析する。
• 三角形内に六角形（ダブルスター）、長方形、ジグザグパターンを適用し、恒等式やGCD性質を導出する。
• 六角形内の頂点のGCDを分析し、多数のGFP族においてそれらが等しいことを示すことにより、ダブルスターGCD性質を証明する。
• x=1における評価により数値的に結果を検証し、多項式三角形とOEISに登録された既知の整数列との関連を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化フィボナッチ多項式に基づくホゾヤ多項式三角形において、「六角形パターン内の交互な頂点のGCDが等しい」というダブルスターの性質は成立するか？
• RQ2 カッシーニの恒等式、カタランの恒等式、ジョンソンの恒等式といった古典的恒等式は、ホゾヤ多項式三角形内の長方形およびジグザグパターンを用いて幾何的に解釈可能か？
• RQ3 どの一般化フィボナッチ多項式の族においてダブルスターGCD性質が成立し、その完全な分類は何か？
• RQ4 フェルマー多項式、ペル多項式、チェビシェフ多項式などの特定のGFPにおける係数のGCDパターンは何か？ それらは既知の整数列とどのように関連するか？
• RQ5 x=1で評価した場合、ホゾヤ多項式三角形は、古典的ホゾヤ三角形などの既知の数値的三角形にどのように還元されるか？

主な発見

• 多くの一般化フィボナッチ多項式族において、ホゾヤ多項式三角形でダブルスターGCD性質が成立し、表1の14種類の異なる部分族が完全に分類されている。
• ギボノミアル三角形に対してもダブルスター性質が確立され、従来の数値的三角形に関する結果が拡張されている。
• ホゾヤ多項式三角形内の長方形およびジグザグパターンを用いて、カッシーニの恒等式、カタランの恒等式、ジョンソンの恒等式の幾何的証明が得られた。
• x=1で評価した場合、ホゾヤ多項式三角形の要素は、OEISに登録された既知の整数列（例：フィボナッチのA058071、ペルのA284127、フェルマーのA143088）に対応する。
• n番目のフェルマー多項式 $ \Phi_n(x) $ の係数のGCDは $ 3^{a_n} $ であり、ここで $ a_n $ はOEISの数列A168570のn番目の項である。
• 2n番目のペル多項式 $ P_{2n}(x) $ の係数のGCDは $ 2^{a_n} $ であり、ここで $ a_n $ はOEISの数列A001511のn番目の項である。