[論文レビュー] Star-Representations sur des sous-varietes co-isotropes

Martin Bordemann, Rafael J. L. Morcillo+3 more|ArXiv.org|Sep 19, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コイソトロピック部分多様体上の滑らかな関数の自然な表現を変形する、ポisson多様体上のスター積を構成する。これは、ポアソン構造と整合するコチェーンの一般化形式定理を用いる。ホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型写像を、整合する多ベクトル場と多微分作用素の間で証明し、後者にG∞-構造を確立し、形式性の障害がコホモロジー群によって制御されることを示す。特に対象の余次元1では障害が消えるため、ドォルグシェフ＝フェドソフ法を用いたグローバルなスター表現の存在が示唆される。

ABSTRACT

For a coisotropic (or first-class) submanifold C of a Poisson manifold X we consider star-products for which the vanishing ideal I of C becomes a left ideal in the deformed algebra thus defining a left module structure on the space of smooth functions on C. We show how this can be deduced from a formality conjecture a la Tamarkin generalized to cochains compatible with C. To this end we first prove a theorem a la Hochschild-Kostant-Rosenberg between the space of compatible multivector fields and compatible multidifferential operators. We then equip the latter with a G-infinity structure, and prove that the obstructions to the formality are controlled by certain cohomology groups which we reduce in the case of C being a subvectorspace of the vectorspace M. In codimension 1 we conjecture -encouraged by low-dimensional examples and Gloessner's representation theorem (1998)- that formality holds. For higher codimensions it is not impossible that obstructions occur which in the symplectic case are linked to the Atiyah-Molino class of a regular foliation.

研究の動機と目的

• コイソトロピック部分多様体上での関数の理想が変形代数における左イデアルとなるような、ポアソン多様体上のスター積を構成すること。
• タマリンの形式定理を、ポアソン構造と整合するコチェーンへ一般化すること。
• コイソトロピック部分多様体と整合する多微分作用素の空間にG∞-構造を確立すること。
• 特に線形モデルの場合に、形式性の障害をコホモロジー群の観点から同定・分析すること。
• 障害が余次元1で消えると予想され、ドォルグシェフ＝フェドソフのグローバライゼーション法により、スター表現のグローバル存在が示唆されること。

提案手法

• コイソトロピック部分多様体Cと整合する多ベクトル場および多微分作用素の空間を、それぞれ$$\mathfrak{g}_I$$と$$\mathfrak{G}_I$$と表記する。
• 整合する多ベクトル場と整合する多微分作用素の間で、ホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型写像を証明する。
• 整合する多微分作用素の空間にG∞-代数構造を構成する。
• 形式性の障害を制御するコチェーン複体を定義する。
• van Est型同型写像を用いて、この複体のコホモロジーを、ホッフシュライブコホモロジーおよび商多様体上の微分形式と関連付ける。
• 関連する複体が余次元1で正則であると予想し、これにより形式性が成り立ち、したがってスター表現の存在が示唆されること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コイソトロピック部分多様体上で関数の理想が変形代数における左イデアルとなるような、ポアソン多様体上のスター積を構成できるか？
• RQ2 タマリンの形式定理は、ポアソン構造と整合するコチェーンへどのように一般化できるか？
• RQ3 コイソトロピック部分多様体と整合する多微分作用素の空間の構造は何か？ そして、これにG∞-代数構造を導入できるか？
• RQ4 このような形式性同型写像を構成する際の障害を制御するコホモロジー群は何か？
• RQ5 余次元が1より大きい場合、スター表現の存在に障害があるか？ もしあるならば、それらはシンプレクティックファイブレーションの特徴類に関係するか？

主な発見

• コイソトロピック部分多様体と整合する多ベクトル場の空間と、整合する多微分作用素の空間との間で、ホッフシュライブ＝コスタント＝ローゼンバーグ同型写像が確立された。
• 整合する多微分作用素の空間には、自然なG∞-代数構造が備わっている。
• 形式性の障害が、特定のコチェーン複体のコホモロジーによって制御されることを示した。
• $$X=\mathbb{R}^n$$および$$C=\mathbb{R}^{n-1}$$の場合、障害群を明示的に計算し、それらが消えることを示した。
• 論文は、関連するコチェーン複体が余次元1で正則であると予想し、これにより形式性が成り立ち、したがってスター表現の存在が示唆されることを示した。
• 結果から、余次元1のコイソトロピック部分多様体上でのスター表現は、ドォルグシェフ＝フェドソフ法を用いてグローバルに構成可能であることが示唆された。