[論文レビュー] State Complexity and the Monoid of Transformations of a Finite Set

Bryan Krawetz, John Lawrence+1 more|ArXiv.org|Jun 29, 2003

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正規言語におけるルート演算の状態複雑性を調査している。ルート演算は root(L) = {w | w^n ∈ L for some n ≥ 1} として定義される。サイズ n の DFA から root(L) を認識する DFA に変換する際の状態数の増加について、上限と下限のタイトな境界を確立している。アルファベットのサイズが ≥3 の場合、最悪ケースの複雑性は n^n − binom(n,2) であり、これは有限集合上の変換モノイドの代数的構造を用いて得られる。サイズが小さいアルファベットの場合は、著しく低い複雑性となる。

ABSTRACT

In this paper we consider the state complexity of an operation on formal languages, root(L). This naturally entails the discussion of the monoid of transformations of a finite set. We obtain good upper and lower bounds on the state complexity of root(L) over alphabets of all sizes.

研究の動機と目的

• 正規言語におけるルート演算の最悪ケースの状態複雑性を特定すること。ここでルート演算は root(L) = {w | w^n ∈ L for some n ≥ 1} として定義される。
• 有限集合上の変換モノイドの構造が root(L) の状態複雑性に与える影響を分析すること。
• すべてのアルファベットサイズについて、root(L) の状態複雑性のタイトな上限と下限を導出すること。特に、ユニナリ、バイナリ、およびそれ以上のサイズのアルファベットを区別すること。
• モノイド論的技法を用いて、L の最小 DFA から root(L) の最小 DFA に変換する際の状態複雑性の最大吹き上がりを特徴付けること。

提案手法

• 状態集合 Q のすべての変換からなるモノイド上に、状態集合 Q^Q を持つ新しい DFA A' を構築し、root(L) を認識する。
• A' における遷移関数 δ' を δ'(f,a) = f ∘ δ_a として定義する。ここで δ_a は記号 a によって誘導される変換である。
• δ'_q0(w) = δ_w であることから、w ∈ root(L) であるための必要十分条件が、ある n ≥ 1 に対して δ_w^n(q0) ∈ F であることと特徴付けられる。
• 特に、互いに素な k ≥ 2、l ≥ 3 で k + l = n を満たす二生成部分モノイド U_{k,l} の構造に関する代数的結果を適用する。
• モノイドのサイズに関する組合せ的境界を用いる。特に、任意のモノイド M ⊆ T_n について、|M| > n^n − binom(n,2) ならば M は全変換モノイド T_n に一致することを用いる。
• n ≥ 7 の場合、計算的検証と既知の結果（例：Holzer と König の結果）を用いて、境界のタイトさを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限アルファベット上での正規言語におけるルート演算の最大状態複雑性吹き上がりは何か？
• RQ2 最小 DFA の変換モノイドの構造が root(L) の状態複雑性に与える影響は何か？
• RQ3 ユニナリ、バイナリ、およびサイズ ≥3 のアルファベットについて、root(L) の状態複雑性のタイトな上限と下限を確立できるか？
• RQ4 アルファベットサイズが ≥3 の場合、境界 n^n − binom(n,2) はタイトか？ また、この最大値を達成するモノイド構造は何か？
• RQ5 二生成部分モノイド U_{k,l} は、root(L) の最悪ケース状態複雑性を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• アルファベットサイズが ≥3 の場合、root(L) の最悪ケース状態複雑性は n^n − binom(n,2) であり、この境界はタイトである。
• L の最小 DFA の変換モノイドが全変換モノイド T_n である場合、root(L) の状態複雑性は正確に n^n − binom(n,2) に等しい。
• バイナリアルファベットの場合、root(L) の最大状態複雑性は |U_{k,l}| − binom(n,2) で抑えられ、ここで U_{k,l} は k ≥ 2、l ≥ 3 で k + l = n を満たす互いに素な整数 k, l を用いて生成される T_n の最大の二生成部分モノイドである。
• ユニナリ言語の場合、root(L) の状態複雑性は元の状態複雑性で抑えられ、すなわち sc(root(L)) ≤ sc(L) であり、この境界はタイトである。
• 任意の n ≥ 1 に対して、アルファベットサイズが 3 以上であれば、n 個以下の生成元からなる集合 X を用いて T_n を生成できるため、境界 n^n − binom(n,2) を達成する言語の構成が可能である。
• n ≥ 7 の場合、U_{k,l} が最大のこのような部分モノイドであるという予想を仮定すると、バイナリアルファベットにおいて |U_{k,l}| − binom(n,2) の境界はタイトである。