[論文レビュー] State complexity of multiple catenation

Pascal Caron, Jean-Gabriel Luque+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Brzozowskiの決定的有限オートマトン（DFA）を用いて、複数回の連結における状態複雑性の上限を、$2\alpha - 1$ から $\alpha + 1$ に減少させることで、証拠のアルファベットサイズを改善する。再帰的公式を提示し、$\alpha$-文字アルファベットが十分であるという予想について、計算的および解析的証拠を提供する。$\alpha = 2$ および $\alpha = 3$ においてその妥当性を検証する。主な貢献は、状態複雑性の上限にほとんど影響を与えることなく、アルファベットサイズを大幅に削減したことである。

ABSTRACT

We improve some results relative to the state complexity of the multiple catenation described by Gao and Yu. In particular we nearly divide by 2 the size of the alphabet needed for witnesses. We also give some refinements to the algebraic expression of the state complexity, which is especially complex with this operation. We obtain these results by using peculiar DFAs defined by Brzozowski.

研究の動機と目的

• 正規言語の複数回連結における状態複雑性証拠に必要なアルファベットサイズを低減すること。
• $\alpha$ 個の正規言語の逐次連結の状態複雑性を計算する再帰的公式を提供すること。
• BrzozowskiのDFAが、最小状態数の証拠を構築する強力なツールとして使用可能であることを検証すること。
• $\alpha$-言語連結における最適なアルファベットサイズ $\alpha$ を達成できる可能性を調査すること。

提案手法

• 複数連結の証拠として機能する、$\alpha + 1$ 文字のアルファベット上に構築された $\alpha$ 個のDFAの族を構成する。
• 逆オートマトンから最小DFAを生成するBrzozowskiの構成法を適用し、状態数最小の証拠を生成する。
• 再帰的状態遷移解析を用いて、$\alpha$ 重連結の状態複雑性の計算可能な表現を導出する。
• 区別語による詳細な状態同値性の証明を用いて、構築されたオートマトンの最小性を検証する。
• 組合せ的枠組みを、組み合わせの表現に基づいて、従来の代数的式よりも効率的に状態複雑性の上限を表現する。
• 計算により $\alpha = 6$ または $7$ まで予想を検証し、$\alpha = 2$ および $\alpha = 3$ においてその証明を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数連結の証拠におけるアルファベットサイズを $2\alpha - 1$ 未満に低下させることは可能か？
• RQ2 $\alpha$ 重連結の状態複雑性の計算を簡略化する再帰的公式は存在するか？
• RQ3 BrzozowskiのDFAを用いて、$\alpha$-文字アルファベットで最適な証拠を構築できるか？
• RQ4 $\alpha$-重連結において $\alpha$-文字アルファベットで十分であるという予想は、すべての $\alpha \geq 2$ に対して成り立つか？
• RQ5 複数連結における最大状態複雑性を達成するために必要な最小アルファベットサイズは何か？

主な発見

• 本稿は、複数連結の証拠に必要なアルファベットサイズを $2\alpha - 1$ から $\alpha + 1$ に削減し、必要となるアルファベットサイズをほぼ半減させた。
• $\alpha$ 重連結の状態複雑性を計算する再帰的公式を提示し、効率的な計算を可能にした。
• $\alpha + 1$ 文字のアルファベット上に構築された $\alpha$-DFA族が、最大状態複雑性の最小証拠であることが証明された。
• $\alpha = 2$ および $\alpha = 3$ において、$\alpha$-文字アルファベットが十分であることが証明され、最適性の予想を支持した。
• 状態複雑性の上限は、組み合わせの表現を用いた組合せ的公式で表現され、GaoとYuの複雑な代数的式よりも効率的である。
• 区別語の議論により、構築されたオートマトンの最小性が確認され、すべての状態が互いに同値でないことが証明された。