[論文レビュー] State Compression of Markov Processes via Empirical Low-Rank Estimation.

Anru R. Zhang, Mengdi Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限状態マルコフ過程の圧縮のためのスペクトル的手法を提案する。経験的低ランク推定を用いて圧縮された状態空間とその背後にある状態集約構造を回復する。推定誤差および回復誤差の上界と一致するミニマックス下界を用いて理論的保証を確立し、低ランク仮定下での状態圧縮において本手法の最適性を示している。

ABSTRACT

Model reduction is a central problem in analyzing complex systems and high-dimensional data. We study the state compression of finite-state Markov process from its empirical trajectories. We adopt a low-rank model which is motivated by the state aggregation of controlled systems. A spectral method is proposed for estimating the frequency and transition matrices, estimating the compressed state spaces, and recovering the state aggregation structure if there is any. We provide upper bounds for the estimation and recovery errors and matching minimax lower bounds.

研究の動機と目的

• 高次元マルコフ過程を効率的な解析が可能な低次元表現に低減する課題に対処すること。
• 有限状態マルコフ過程の経験的軌道から周波数行列と遷移行列を推定すること。
• システムに存在する場合に、その背後にある状態集約構造を特定および回復すること。
• 圧縮された状態空間の推定および回復誤差に対する理論的誤差境界を提供すること。
• 低ランクモデル下での状態圧縮の根本的限界を示す一致する下界を用いて、提案手法のミニマックス最適性を確立すること。

提案手法

• マルコフ過程の経験的軌道から遷移行列と周波数行列を推定するためのスペクトル的手法を開発する。
• 推定された周波数行列および遷移行列に対して低ランク行列近似を適用し、圧縮された状態空間を特定する。
• スペクトル分解を活用して、圧縮状態に対応する主要部分空間を抽出する。
• 低ランク成分を、集約状態と一致するようにクラスタリングすることにより、状態集約構造を回復する。
• 行列集中不等式を用いた理論的解析により、推定誤差および回復誤差の上界を導出する。
• 低ランクモデル下での状態圧縮の根本的限界を示すミニマックス下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限状態マルコフ過程の経験的軌道を用いて、その背後にある遷移行列および周波数行列を正確に推定できるか？
• RQ2 マルコフ過程の状態空間は、本質的なダイナミクスを保ったまま、どの程度圧縮可能か？
• RQ3 真の状態集約構造が経験的データから回復可能となる条件は何か？
• RQ4 低ランク仮定下で、推定誤差および回復誤差は標本サイズとシステム次元に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 提案手法は、状態圧縮の誤差境界においてミニマックス最適か？

主な発見

• 提案されたスペクトル的手法は、低ランク仮定下で周波数行列および遷移行列の推定誤差率を最適に達成する。
• 真の状態集約構造は、システムが低ランク構造を示す場合に回復可能である。
• 推定誤差および回復誤差の上界が導出され、対数因子を除いてタイトであることが示された。
• 一致するミニマックス下界が確立され、手法の理論的最適性が確認された。
• 真の集約構造が事前に不明であっても、本手法は効果的に圧縮された状態表現を同定できる。
• 経験的軌道および背後にあるマルコフ過程に対してややいなごましの正則性条件が成立する限り、理論的保証が有効である。