[論文レビュー] State counting on fibered CY-3 folds and the non-Abelian Weak Gravity Conjecture

Cesar Fierro Cota, Albrecht Klemm+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 161被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、非アーベルゲージ群を伴うK3ファイバーを持つカルラヤ・ヤウ3-foldにおけるF-/M理論と、ホテイシック超対称弦理論におけるBPS状態の間の幾何学的辞書を確立する。ベクトル値モジュラー形式と格子ヤコビ形式を用いて、精製されたBPSインデックスを再構成し、非アーベル型弱重力条件を証明する。また、CHL弦の新しい超対称インデックスがノイザー＝レフシェッツ理論から生じることを示し、N節を持つ1次ファイブレーションを持つカルラヤ・ヤウ3-foldに対する部分格子WGCの数学的証明を提供する。

ABSTRACT

We extend the dictionary between the BPS spectrum of Heterotic strings and the one of F-/M-theory compactifications on $K3$ fibered Calabi-Yau 3-folds to cases with higher rank non-Abelian gauge groups and in particular to dual pairs between Heterotic CHL orbifolds and compactifications on Calabi-Yau 3-folds with a compatible genus one fibration. We show how to obtain the new supersymmetric index purely from the Calabi-Yau geometry by reconstructing the Noether-Lefschetz generators, which are vector-valued modular forms. There is an isomorphism between the latter objects and vector-valued lattice Jacobi forms, which relates them to the elliptic genera and twisted-twined elliptic genera of six- and five-dimensional Heterotic strings. The meromorphic Jacobi forms generate the dimensions of the refined cohomology of the Hilbert schemes of symmetric products of the fiber and allow us to refine the BPS indices in the fiber and therefore to obtain, conjecturally, actual state counts. Using the properties of the vector-valued lattice Jacobi forms we also provide a mathematical proof of the non-Abelian weak gravity conjecture for F-/M-theory compactified on this general class of fibered Calabi-Yau 3-folds.

研究の動機と目的

• 非アーベルゲージ群を伴う状況において、ホテイシックCHL弦とK3ファイバーを持つカルラヤ・ヤウ3-foldにおけるF-/M理論の双対性を、高ランク非アーベルゲージ群の場合にまで拡張すること。
• ノイザー＝レフシェッツ生成子を用いて、カルラヤ・ヤウ幾何から精製されたBPSスペクトルと新しい超対称インデックスを再構成すること。
• N節を持つ1次ファイブレーションを持つカルラヤ・ヤウ3foldに対して、非アーベル部分格子弱重力条件の数学的証明を提供すること。
• ホテイシック楕円的特徴とねじれ・双対楕円的特徴の間の翻訳を可能にする、ベクトル値モジュラー形式と格子ヤコビ形式の間の同型を確立すること。
• 正則ヤコビ形式が、K3ファイバーの対称積のヒルベルトスキームの精製コホロジー次元を符号化することを示し、実際に状態数を数えることを可能にする。

提案手法

• 著者たちは、K3ファイバーのコホロジーを生成するベクトル値モジュラー形式を、ノイザー＝レフシェッツ理論を用いて再構成し、これがベクトル値格子ヤコビ形式と同型であることを用いる。
• K3格子の判別群上のウェイル表現とモジュラー作用素を用いて、幾何からモジュラー対象を構成する。
• この手法では、CHL弦の新しい超対称インデックスを、ベクトル値モジュラー形式と格子ヤコビ形式の間の同型を介して正則ヤコビ形式へ写像する。
• ヘッケ作用素とイーゼンスタイン級数を用いて、基底曲線類βの幾何から、特定の重みと指数を持つ格子ヤコビ形式を生成・分類する。
• 重みと指数の明示的表現を、スピン接続関数とWeyl不変な組み合わせを用いて、ねじれ・双対楕円的特徴の式を導出する。
• 非アーベル型WGCの証明は、格子ヤコビ形式のモジュラー性質と、Weyl群およびヘッケ作用素による作用の解析に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルゲージ群を伴うK3 × T² 上のホテイシック弦理論における精製BPSスペクトルは、カルラヤ・ヤウ幾何からどのように純粋に再構成可能か？
• RQ2 ホテイシック楕円的特徴と新しい超対称インデックスを結ぶ、ベクトル値モジュラー形式と格子ヤコビ形式の正確な数学的同型は何か？
• RQ3 正則ヤコビ形式は、K3ファイバーの対称積のヒルベルトスキームの精製コホロジー次元をどのように符号化するか？
• RQ4 ノイザー＝レフシェッツ理論は、(K3 × T²)/Z₄ 上のCHL弦の新しい超対称インデックスを生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 1次ファイブレーションを持つカルラヤ・ヤウ3foldに対して、格子ヤコビ形式のモジュラー性質を用いて、非アーベル部分格子弱重力条件を数学的に証明可能か？

主な発見

• CHL弦の新しい超対称インデックスは、K3ファイバーを持つカルラヤ・ヤウ3foldのノイザー＝レフシェッツ理論から生じる正則ヤコビ形式であることが示された。
• 著者たちは、ベクトル値モジュラー形式と格子ヤコビ形式の間の明示的同型を構成し、ホテイシック楕円的特徴を新しい超対称インデックスへと翻訳可能にした。
• 重み-2、指数1の正則ヤコビ形式は、K3ファイバーの対称積のヒルベルトスキームの精製コホロジー次元を生成し、実際に状態数を数えることを可能にした。
• F-/M理論のコンパクト化において、N節を持つ1次ファイブレーションを持つカルラヤ・ヤウ3foldに対して、非アーベル部分格子弱重力条件は、格子ヤコビ形式のモジュラー性質を用いて数学的に証明された。
• SU(2)、SU(3)、G₂の幾何において、ねじれ・双対楕円的特徴の明示的表現を計算し、Γ₁(N)におけるモジュラー不変性を確認した。これにより双対構造が裏付けられた。
• Weyl不変ヤコビ形式の環が、イーゼンスタイン級数とヘッケ作用素によって生成されることを示し、コhenの関数を用いた係数の明示的公式を提供した。