[論文レビュー] State preparation based on quantum phase estimation

Jian Zhao, Yu-Chun Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対角ユニタリ演算子の効率的分解を介して古典的データを量子状態にマッピングするための量子状態準備フレームワークを、量子位相推定を用いて提案する。決定的および確率的アルゴリズムを導入し、これらの演算子の効率的分解が、効果的な状態準備の十分条件であることを示しており、実装における忠実度の上限と成功確率が定量的に評価されている。

ABSTRACT

State preparation is a process encoding the classical data into the quantum systems. Based on quantum phase estimation, we propose the specific quantum circuits for a deterministic state preparation algorithm and a probabilistic state preparation algorithm. To discuss the gate complexity in these algorithms, we decompose the diagonal unitary operators included in the phase estimation algorithms into the basic gates. Thus, we associate the state preparation problem with the decomposition problem of the diagonal unitary operators. We analyse the fidelities in the two algorithms and discuss the success probability in the probabilistic algorithm. In this case, we explain that the efficient decomposition of the corresponding diagonal unitary operators is the sufficient condition for state preparation problems.

研究の動機と目的

• 量子機械学習や量子アルゴリズムにおける古典的データを量子状態に効率的に符号化する課題に対処すること。
• 対角ユニタリ演算子の分解に起因する状態準備の実行時間およびゲート複雑度を低減すること。
• 位相推定を用いた決定的および確率的状態準備のための実用的な量子回路を開発すること。
• 制御された精度下での提案アルゴリズムの忠実度および成功確率を定量的に評価すること。
• 特に、対角ユニタリが多項式時間深度の分解を許容する場合に、量子状態準備が効率的になる条件を同定すること。

提案手法

• 本手法は、対角ユニタリ演算子を基本量子ゲートに分解することで、位相推定を用いて振幅符号化を実装する。
• 決定的準備の場合、位相推定から得られる精度制御された角度に基づく制御回転を適用し、アダカのキュービットに制御U操作を適用する。
• 確率的準備の場合、振幅増幅と測定による後選別を用い、成功確率は推定された位相角のコサインに依存する。
• 忠実度分析は、三角不等式と切り捨てられた位相推定に起因する位相誤差伝播を用いて、ターゲット状態と近似状態の差をバインドすることで行われる。
• ゲート複雑度は、対角ユニタリをToffoliゲートおよび単一キュービットゲートに分解することで分析され、深度はキュービット数と所望の精度に応じてスケーリングされる。
• アルゴリズムは固定されたキュービット幅O(n)で動作するように設計されており、リソースが限られた近い未来の量子デバイスに適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子位相推定を、決定的および確率的量子状態準備に効果的に再利用できるか？
• RQ2 対角ユニタリ演算子の分解複雑度と状態準備の効率性の関係は何か？
• RQ3 位相推定に基づく状態準備において、忠実度と成功確率を解析的にバインドできるか？
• RQ4 提案手法が状態準備に多項式時間深度の回路を達成する条件は何か？
• RQ5 振幅符号化状態準備において、回路の深さ、幅、精度のトレードオフは何か？

主な発見

• 決定的アルゴリズムでは、位相推定レジスタサイズを $ t = \lceil \log_2 \frac{2(n-1)\sqrt{2}\pi}{\epsilon} \rceil + 1 $ と設定することで、忠実度誤差が $ \epsilon $ 以下になることが保証される。
• 確率的アルゴリズムでは、$ t = 2n + \lceil \log_2 \frac{2\pi}{\epsilon} \rceil $ と設定することで、忠実度誤差が $ \epsilon $ 以下になるだけでなく、成功確率が $ \frac{\|x\|^2}{2^n \max_i x_i^2} $ よりも大きくなる。
• 確率的アルゴリズムの成功確率は、データベクトル成分の相対的な大きさに依存し、$ \max_i x_i^2 $ が大きいほど成功の可能性が高まる。
• 決定的アルゴリズムの忠実度バインドは、累積的な位相推定誤差に基づき、キュービット数 $ n $ に比例して誤差が線形に増加する。
• 本稿では、関連する対角ユニタリ演算子の効率的分解が、効率的状態準備の十分条件であることを確立している。特に、データがスパースまたは構造的である場合には顕著である。
• 対角ユニタリが多項式時間深度で分解可能な場合（例：O(n)-スパースデータの場合）、一般には指数的深度を要するが、全体の状態準備は依然として効率的になる。