[論文レビュー] Static perfect fluid balls with given equation of state and cosmological constant

Christian G. Boehmer|ArXiv.org|Sep 7, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、与えられた単調な状態方程式に対して、宇宙定数を伴うアインシュタイン重力理論における静的で球対称な完全流体解の存在および一意性を確立する。宇宙定数が $\Lambda < 4\pi\rho_b$ を満たす場合、グローバル解が存在することを証明し、$\Lambda$ を組み込んだ一般化されたブッハダール不等式を導出し、星がブラックホール事象の地平線の外で宇宙定数の地平線の内側に留まることを示している。

ABSTRACT

Static and spherically symmetric perfect fluid solutions of Einstein's field equations with cosmological constant are analysed. After showing existence and uniqueness of a regular solution at the centre the extension of this solution is discussed. Then the existence of global solutions with given equation of state and cosmological constant bounded by 4 pi rho_b, where rho_b is the boundary density (given by the equation of state) of the perfect fluid ball, is proved.

研究の動機と目的

• 従来の静的完全流体解の結果を非ゼロの宇宙定数を含むように拡張すること。
• 与えられた状態方程式および宇宙定数に対して、グローバル解の存在および一意性を確立すること。
• 宇宙定数を考慮した一般化されたブッハダール不等式を導出し、星の半径がブラックホール地平線および宇宙定数地平線に対してどのように制限されるかを明らかにすること。
• 特に $\Lambda \leq 0$ および $\Lambda > 0$ の場合における解の有限性および正則性を分析すること。
• 境界でシュバルツシルト＝デ・シーターや反デ・シータースペースタイムに一致させることで、グローバルに正則な解を構成すること。

提案手法

• 宇宙定数を含むブッハダール変数（$y^2 = e^{-a(r)}$, $\zeta = e^{\nu/2}$, $x = r^2$）を用いてアインシュタイン場方程式を定式化する。
• トゥルマン＝オッペンハイマー＝ボルコフ方程式に $\Lambda$ を組み込み、圧力 $P(r)$ と平均密度 $w(r)$ の一階微分方程式系を導出する。
• レンダル＝シュミットの定理を用いて、中心における与えられた中心圧力と $\Lambda$ に対して、正則解の存在および一意性を証明する。
• 保存則 $P'(r) = -r \frac{(4\pi P + w - \Lambda/3)(P + \rho)}{1 - 2wr^2 - \Lambda r^2/3}$ を用いて、圧力と密度の勾配を関連付ける。
• 境界挙動を分析し、$y_b \geq \frac{1}{3} - \frac{\Lambda}{9w_b}$ を要求することで一般化されたブッハダール不等式を導出し、$3M < \frac{2}{3}R + R\sqrt{\frac{4}{9} - \frac{\Lambda}{3}R^2}$ が得られる。
• 境界 $r = R$ で内部流体解を外部のシュバルツシルト＝デ・シーターや反デ・シータースペースタイムに一致させることで、$C^1$ 連続性を保証するグローバルに正則な解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた状態方程式および宇宙定数を有する静的完全流体球に対して、一意的で正則な解が存在する条件は何か？
• RQ2 宇宙定数の存在が、流体星の質量-半径比に対するブッハダール限界をどのように変更するか？
• RQ3 正の宇宙定数に対してグローバルに正則な解を構成できるか。また、星の半径に及ぼす地平線制約は何か？
• RQ4 解が有限または無限の広がりを示すのはどのような条件か。これは状態方程式および $\Lambda$ にどのように依存するか？
• RQ5 $\Lambda \leq 0$ と $\Lambda > 0$ の場合における解の性質の違い、特に地平線構造および特異点回避の観点から、どのように変化するか？

主な発見

• 任意の単調な状態方程式 $\rho = \rho(P)$ および宇宙定数 $\Lambda$ に対して、$\Lambda < 4\pi\rho_b$ を満たす場合、グローバル解が存在し、一意的である。ここで $\rho_b = \rho(P=0)$ は境界エネルギー密度を表す。
• 一般化されたブッハダール不等式は $3M < \frac{2}{3}R + R\sqrt{\frac{4}{9} - \frac{\Lambda}{3}R^2}$ として導出され、質量-半径比を制限し、星がブラックホール地平線の外で宇宙定数地平線の内側に位置することを保証する。
• $\Lambda \leq 0$ の場合、解はグローバルに静的で特異点がなく、境界でシュバルツシルト＝反デ・シータースペースタイムに一致する。
• $\Lambda > 0$ の場合、境界 $r = R$ でシュバルツシルト＝デ・シータースペースタイムに一致させることで、グローバルに正則な解を構成でき、特異点を回避できる。
• $\Lambda > 0$ の場合、状態方程式の性質にかかわらず、解は常に有限の広がりを示す。一方、$\Lambda \leq 0$ の場合、有限性は $\rho(P)$ の無限遠における挙動に依存する。
• 単調に減少する密度プロファイルに対して、すべての解で $y_b \geq \frac{1}{3} - \frac{\Lambda}{9w_b}$ が成り立つ。ここで $y_b = \sqrt{1 - 2w_b R^2 - \frac{\Lambda}{3}R^2}$ であり、星の構造に対する物理的限界を確認している。