[論文レビュー] Static replications with traffic light options

Michael Schmutz, Thomas Zürcher|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Simulation Techniques and Applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二資産オプションのペイオフが二つの単一資産オプションの積に基づく交通整理オプション（traffic light options）が、多次元設定における複雑なデリバティブ・ペイオフの明示的静的ヘッジを可能にすることを示している。主な貢献は、ブリーンデン＝リッツェンバーガーの結果の二変量への拡張であり、共同リスク中立密度が交通整理オプション価格の四階混合偏微分として回復可能であることを示している。同時に、ヴァナイル・オプションおよび債券を用いた単純で解析的な静的ヘッジの実現も可能である。

ABSTRACT

It is well known that any sufficiently regular one-dimensional payoff function has an explicit static hedge by bonds, forward contracts and lots of vanilla options. We show that the natural extension of the corresponding representation leads to a static hedge based on the same instruments along with traffic light options, which have recently been introduced in the market. One big advantage of these replication strategies is the easy structure of the hedge. Hence, traffic light options are particularly powerful building blocks for more complicated bivariate options. While it is well known that the second strike derivative of non-discounted prices of vanilla options are related to the risk-neutral density of the underlying asset price in the corresponding absolutely continuous settings, similar statements hold for traffic light options in sufficiently regular bivariate settings.

研究の動機と目的

• 交通整理オプションを用いて、古典的な一次元静的レプリケーション枠組みを多次元設定へ拡張すること。
• 交通整理オプション価格と二資産の共同リスク中立密度との間の直接的な解析的関係を確立すること。
• 交通整理オプションが、二変量設定における複雑なペイオフ関数の静的ヘッジの効率的構成要素として機能することを実証すること。
• 交通整理オプションの実務的利用を支える理論的基盤を提供すること、特に多次元デリバティブの定価とヘッジにおいて。

提案手法

• ブリーンデン＝リッツェンバーガーの公式の二変量への拡張を導出する。共同リスク中立密度が、交通整理オプションの非割引価格の四階混合偏微分に等しいことを示す。
• 確率空間を必要としない完全な解析的アプローチを用い、十分に滑らかな任意の二変量ペイオフを、交通整理オプション、債券、およびフォワード・コンテナクトの線形結合として表現する。
• ウィーナーの近似定理を適用し、R+² 上の可積分ペイオフ関数が、有限個の交通整理オプションの線形結合によって任意に良く近似可能であることを示す。
• 有限個の交通整理オプションの線形結合の集合が L¹(R+²) で稠密であることを確立し、一般のペイオフ関数の近似を可能にする。
• ストライク価格に関する積分を用いて、二変量ペイオフ関数の表現公式を、交通整理オプション価格の二階混合偏微分に基づいて導出する。
• 価格が負になる場合を許容するように枠組みを拡張し、R² 上の実数値関数に対しても、統合限界を変更し、表現を調整することで解析的扱いを維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交通整理オプションは、一次元におけるヴァナイル・オプションと同様に、任意の二変量ペイオフ関数を静的レプリケート可能か？
• RQ2 二資産の共同リスク中立密度と交通整理オプション価格との間に直接的な解析的関係は存在するか？
• RQ3 静的レプリケーションにおける解析的取り扱いのしやすさという観点から、交通整理オプションはバスケット・オプションと比べてどのように異なるか？
• RQ4 有限個の交通整理オプションの線形結合によって、可積分な二変量ペイオフ関数の空間を近似可能か？
• RQ5 交通整理オプションの市場利用の理論的基盤は何か、特に多次元デリバティブの定価とヘッジにおいて。

主な発見

• 共同リスク中立密度 q(k₁,k₂) は、ストライク k₁ および k₂ を持つ交通整理オプションの非割引価格の四階混合偏微分に等しい。
• 累積共同分布関数は、交通整理オプション価格の二階混合偏微分として回復され、一次元の累積分布関数の結果を拡張する。
• 十分に滑らかな任意の二変量ペイオフ関数は、債券、フォワード・コンテナクト、ヴァナイル・オプション、および交通整理オプションを用いて静的レプリケート可能であり、構造が単純かつ明示的である。
• 有限個の交通整理オプションの線形結合の集合は L¹(R+²) で稠密であり、任意の可積分な二変量ペイオフ関数が、このような組み合わせによって任意に良く近似可能である。
• 積分限界を変更し、負のストライクパラメータを許容することで、実数値関数 R² 上への拡張が可能となり、解析的取り扱いが維持される。
• 既存の多次元価格評価手法に関する文献と比較することで、バスケット・オプションよりも交通整理オプションが共同リスク中立密度に対してより直接的な関係を持つことが示された。