[論文レビュー] Stationary and time periodic patterns of two-predator and one-prey systems with prey-taxis

Ke Wang, Qi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2匹の捕食者と1匹の被捕食者からなる3種の捕食者-被捕食者系において、被捕食者への指向的移動（prey-taxis）を組み込んだ系のパターン形成を研究する。解の全域的存在と有界性を確立し、群防御の有無に応じてprey-taxisが均衡を安定化または不安定化することが示され、分岐解析により定常的および周期的非自明なパターンの存在を証明。安定性解析により、強力に結合された系における波動モード選択メカニズムが特定された。

ABSTRACT

This paper concerns pattern formation in a class of reaction-advection-diffusion systems modeling the population dynamics of two predators and one prey. We consider the biological situation that both predators forage along the population density gradient of the preys which can defend themselves as a group. We prove the global existence and uniform boundedness of positive classical solutions for the fully parabolic system over a bounded domain with space dimension $N=1,2$ and for the parabolic- -parabolic-elliptic system over higher space dimensions. Linearized stability analysis shows that prey-taxis stabilizes the positive constant equilibrium if there is no group defense while it destabilizes the equilibrium otherwise. Then we obtain stationary and time-periodic nontrivial solutions of the system that bifurcate from the positive constant equilibrium. Moreover, the stability of these solutions is also analyzed in detail which provides a wave mode selection mechanism of nontrivial patterns for this strongly coupled system. Finally, we perform numerical simulations to illustrate and support our theoretical results.

研究の動機と目的

• 2匹の捕食者と1匹の被捕食者を有する生態系において、prey-taxisが空間的パターン形成に与える影響を理解すること。
• 被捕食者の群防御が、prey-taxis下での捕食者-被捕食者均衡の安定性に与える影響を調査すること。
• 正の定数均衡から分岐する非自明な定常的および周期的解の存在を確立すること。
• これらの非自明なパターンの安定性を解析し、強力に結合された系における波動モード選択メカニズムを同定すること。
• 反応–対流–拡散系の数値シミュレーションを通じて理論的知見を検証すること。

提案手法

• ロットカ＝ヴォルテラ力学とprey-taxisを組み込んだ完全な放物型3×3反応–対流–拡散系を定式化。
• 正の定数均衡の周囲における線形化安定性解析を用い、群防御の有無に応じてprey-taxisが均衡を安定化または不安定化するかを特定。
• 中心多様体およびリャプノフ＝シュミット還元技術を用い、分岐理論を用いて定常的および周期的非自明解の存在を証明。
• フーリエ展開を用いて分岐解の明示的表現を導出し、係数行列の行列式を含む連立行列系を解く。
• パターン形成および安定性に関する理論的結果を図示・支持するための数値シミュレーションを実施。
• 複数スケール法を用いて分岐解の安定性を解析し、分岐展開における2次項を評価して波動モード選択を特定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 prey-taxisは、2匹の捕食者と1匹の被捕食者を有する系において、正の定数均衡の安定性にどのように影響するか？
• RQ2 prey-taxisが非自明な定常的または周期的パターンを生じる条件は何か？
• RQ3 被捕食者の群防御は、prey-taxisがパターン形成および均衡安定性に果たす役割にどのように影響するか？
• RQ4 非自明なパターンに現れる波動モードの選択を支配するメカニズムは何か？
• RQ5 この系において、古典的解の全域的存在および一様有界性が成立する条件は何か？

主な発見

• 空間次元N = 1, 2において完全な放物型系、および高次元における放物型–放物型–楕円型系において、正の古典的解の全域的存在および一様有界性が証明された。
• 被捕食者に群防御がない場合、prey-taxisは正の定数均衡を安定化するが、群防御を示す被捕食者が存在する場合には不安定化する。
• 適切なパrameter条件のもとで、正の定数均衡から非自明な定常的および周期的解が分岐することが示された。
• これらの分岐解の安定性は詳細に解析され、分岐展開における2次項に基づく波動モード選択メカニズムが特定された。
• 数値シミュレーションにより理論的予測が確認され、捕食者が高密度の被捕食者領域に集積し、複雑な空間時間的パターンが出現することが示された。
• フーリエ展開および部分積分を用いて、係数行列の行列式を用いた分岐解の振幅の明示的表現が導出された。