[論文レビュー] Stationary measure of the driven two-dimensional q-Whittaker particle system on the torus

Ivan Corwin, Fabio Lucio Toninelli|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、トーラス上の駆動され、非可逆的な2次元粒子系に対して、最初の明示的で非積分型の定常測度を、入れ子の粒子配置におけるq-ホイットラー力学系を用いて確立した。定常測度は、q-Pochhammer記号の積に比例する並進不変なギブス測度であり、生成子作用における粒子固有の寄与の複雑なキャンセレーションによって不変性が示された。

ABSTRACT

We consider a q-deformed version of the uniform Gibbs measure on dimers on the periodized hexagonal lattice (equivalently, on interlacing particle configurations, if vertical dimers are seen as particles) and show that it is invariant under a certain irreversible q-Whittaker dynamic. Thereby we provide a new non-trivial example of driven interacting two-dimensional particle system, or of (2+1)-dimensional stochastic growth model, with explicit stationary measure. We emphasize that this measure is far from being a product Bernoulli measure. These Gibbs measures and dynamics both arose earlier in the theory of Macdonald processes. The q=0 degeneration of the Gibbs measures reduce to the usual uniform dimer measures with given tilt, the degeneration of the dynamics originate in the study of Schur processes and the degeneration of the results contained herein were recently treated in work of the second author.

研究の動機と目的

• 2次元の入れ子粒子配置における、非可逆的で局所的なマコフ力学系に対して、明示的で非自明な定常測度を構成すること。
• 定常測度が積測度でないことを示し、長距離相関を持つ局所的ギブス測度であることを示すこと。
• q=0の場合の既知の結果（一様なデュマー測度）を、q∈(0,1)の全範囲に拡張すること。
• 生成子作用における詳細なキャンセレーションを通じて、q-ホイットラー力学系下でのギブス測度の不変性を証明すること。

提案手法

• 力学系は、入れ子の粒子配置上で定義された連続時間の非可逆的ジャンプ過程であり、ジャンプレートは局所的な粒子間距離とパrameter q∈[0,1)に依存する。
• 提案された定常測度は、ギブス測度であり、∏_p (q;q)_{A_p} / [(q;q)_{B_p}(q;q)_{C_p}] に比例する。ここで A_p,…,F_p は粒子間距離である。
• 不変性は、生成子が測度に作用した際に全微分（全変動）となることから示され、確率の保存を意味する。
• 証明は、隣接する粒子間の項の微細なキャンセレーションに依拠しており、生成子内の和の時間微分の直接計算によって検証された。
• この手法は、a_k が一様でない場合にも一般化可能であり、a_k ≡ 1 の一様ケースを超えて適用可能である。
• 議論はマコドナルド過程理論にインspiredされているが、そのフレームワークに依存せず、自己完結的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 駆動され非可逆的な2次元粒子系に対して、非積分型で明示的な定常測度を構成できるか？
• RQ2 q-ホイットラー力学系は局所的ギブス測度を保存するか？ もしそうなら、その関数的形は何か？
• RQ3 定常測度の相関関係はどのように振る舞い、q=0で既知のケースに還元されるか？
• RQ4 生成子と測度の構造的性質は、力学系が非可逆的であるにもかかわらず不変性を生じさせる要因は何か？
• RQ5 不変性の証明は、非一様な行パラメータ a_k に対しても一般化可能か？

主な発見

• 定常測度は、局所的な粒子間距離に依存するパラメータを持つq-Pochhammer記号の積に比例する並進不変なギブス測度である。
• 測度は積測度でない。q=0では空間相関がべき則で減衰し、q∈(0,1)に対しても同様の振る舞いが予想される。
• 力学系は非可逆的で局所的であり、ジャンプレートは粒子間距離のq変形比に依存する。
• 生成子作用における各粒子からの寄与の非自明なキャンセレーションにより不変性が証明され、明示的計算によって検証された。
• 結果は、行ごとのパラメータ a_k への一般化が可能であり、明示的定常測度を有する系のクラスを拡張した。
• q=0極限では一様デュマー測度とボロディン・フェデルの力学系が回復され、定常性は既に[19]で確立されていた。