[論文レビュー] Stationary measures and orbit closures of uniformly expanding random dynamical systems on surfaces

Ping Ngai Chung|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、表面上の均一に拡張する確率的力学系に対して、有限で検証可能な平均成長条件の下で測度剛性および軌道閉包分類を確立する。この条件下で、唯一の非原子的定常測度は与えられた滑らかな不変測度であり、すべての軌道は有限または稠密であり、無限の軌道は滑らかな測度に関して一様分布する。これは、均一空間およびモジュライ空間の設定から滑らかな力学系へ結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We study the problem of classifying stationary measures and orbit closures for non-abelian action on a surface with a given smooth invariant measure. Using a result of Brown and Rodriguez Hertz, we show that under a certain finite verifiable average growth condition, the only nonatomic stationary measure is the given smooth invariant measure, and every orbit closure is either finite or dense. Moreover, every point with infinite orbit equidistributes on the surface with respect to the smooth invariant measure. This is analogous to the results of Benoist-Quint and Eskin-Lindenstrauss in the homogeneous setting, and the result of Eskin-Mirzakhani in the setting of moduli spaces of translation surfaces. We then apply this result to two concrete settings, namely discrete perturbation of the standard map and Out($F_2$)-action on a certain character variety. We verify the growth condition analytically in the former setting, and verify numerically in the latter setting.

研究の動機と目的

• 滑らかな不変測度を伴う表面上の非可換作用の定常測度および軌道閉包を分類すること。
• 唯一の非原子的定常測度が与えられた滑らかな不変測度であるような条件を確立すること。
• 有限で検証可能な平均成長条件の下で、すべての軌道閉包が有限または稠密であることを証明すること。
• 均一力学系およびモジュライ空間の設定から、表面上の滑らかな力学系の設定へ結果を拡張すること。
• 離散的摂動を伴う標準写像およびキャラクター多様体上の Out(F₂)-作用において、成長条件を解析的におよび数値的に検証すること。

提案手法

• ブラウンとロドリゲス・エルツの結果を用いて、平均成長条件を測度剛性および軌道閉包構造に結びつける。
• 局所座標および表面上の正規直交基底を用いて、局所的に写像の微分の成長を制御するための均一拡張条件（UE）を適用する。
• 座標 $ x, y, z $ の有理関数を用いて、微分の対数ノルムの明示的な $ C^2 $ および $ C^1 $ 行列の上限を導出する。
• 数値計算を用いて、$ r = 0.0001 $、$ \rho = 0.0001 $、$ C = 0.25 $ を用いてグリッド上で均一拡張性を検証し、微分の上限を用いてグローバル有効性を保証する。
• プログラム1を用いて2階微分を計算し、$ C_M $、$ C_\theta $ を上限評価する。プログラム2を用いてグリッド上での均一拡張条件（UE）をテストする。
• 高性能クラスタ（Midway、28コア、64 GB RAM）上で計算を実行し、標準写像およびキャラクター多様体設定の両方で成長条件の検証を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面上の均一に拡張する確率的力学系において、有限で検証可能な平均成長条件の下で、唯一の非原子的定常測度が与えられた滑らかな不変測度であるのはどのような条件か？
• RQ2 このような系において、すべての軌道閉包が有限または稠密であるのはいつか？
• RQ3 具体的な力学系において、均一拡張条件を解析的または数値的に検証できるか？
• RQ4 滑らかな力学系における測度剛性は、均一空間およびモジュライ空間の設定での結果とどのように比較できるか？
• RQ5 無限の軌道を持つ点の、定常測度に関する一様分布の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 有限で検証可能な平均成長条件の下で、唯一の非原子的定常測度は与えられた滑らかな不変測度である。
• すべての軌道閉包は有限または稠密であり、無限の軌道を持つすべての点は滑らかな不変測度に関して一様分布する。
• 離散的摂動を伴う標準写像において、成長条件は解析的に検証された。
• キャラクター多様体 $ \mathrm{Hom}(F_2,\mathrm{SU}(2))//\mathrm{SU}(2) $ 上の Out(F₂)-作用において、成長条件は数値的に検証された。
• 計算は28コアのクラスタ（64 GB RAM）で実行され、検証完了までに47,714秒を要した。
• 座標 $ x, y, z $ の有理関数を用いて明示的な微分上限が計算され、$ C_M = 600 $、$ C_\theta = 600 $、$ C = 0.25 $ が得られ、均一拡張条件のグローバル有効性が保証された。