[論文レビュー] Stationary nonequilibrium statistical mechanics

Giovanni Gallavotti|ArXiv.org|Oct 2, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非保存力およびサーモスタットによって駆動されるハミルトニアン系における定常非平衡統計力学のフレームワークを開発し、定常状態を維持するための決定論的および確率的サーモスタットモデルを導入する。主な貢献は、時間に依存する非平衡過程における非可逆性の測度を、動的系の収縮率の時間依存平均と固定力平均との二乗差分によって定義することである。

ABSTRACT

A brief review on the dynamical systems approach to nonequilibrium statistical mechanics and chaotic dynamics

研究の動機と目的

• 非保存力およびエネルギー散逸型サーモスタットが作用する系における定常非平衡統計力学の厳密な基礎を確立すること。
• 非平衡定常状態におけるエントロピーおよび統計的性質を定義する課題に取り組むが、これらは依然として概念的に曖昧なままである。
• 時間に依存する外部パラメータの下で、一つの定常状態から別の定常状態に至る過程に対する非可逆性の定量的測度を提案すること。
• 古典的非平衡熱力学（例：オンサーガーの相反関係、グリーン＝クーブ関係）と、極端に非平衡な定常状態の研究を結びつけること。

提案手法

• 非保存外部力およびサーモスタット力が作用する系を、有限個の粒子から成る集団で記述し、ニュートンの運動方程式に従う。
• 決定論的サーモスタットを、平衡温度におけるギブス分布をとる無限大の熱浴として定義し、配置の経験的確率がギブス測度と一致することを保証する。
• 境界での確率的初期配置または確率的反射則を用いて確率的サーモスタットを定義し、運動量分布を $ e^{-\beta_a \frac{1}{2m} \mathbf{p}^2} $ に比例させる。
• 外部パrameterが固定された場合のカオス的系の自然な不変測度として、SRB（シナ・ルール・ボーゲン）分布を用いる。
• 時間変化する制御パラメータ $\varphi(t)$ の下で初期定常状態 $\mu_0$ の時間発展を記述する時間依存分布 $\mu_t$ を構築する。
• 非可逆性度 $\mathcal{I}$ を、時間発展平均と固定力平均との差の $L^2$ ノルムとして定義し、位相空間収縮率 $\sigma_t(x)$ の平均の差分を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非保存力およびサーモスタットが作用するハミルトニアン系における定常非平衡状態のための整合的な統計力学的枠組みを構築できるか？
• RQ2 一般に合意のない状況下で、非平衡定常状態におけるエントロピーを意味的に定義または拡張することは可能か？
• RQ3 ボルツマンの $H$-関数に類似した普遍的なリャプノフ関数が、定常状態への到達を測るのに存在するか？
• RQ4 定常状態間を移行する過程に対する物理的に意味的かつ数学的に明確な非可逆性の測度は存在するか？
• RQ5 古典的線形応答理論（例：オンサーガーの相反関係、グリーン＝クーブ関係）は、極端に非平衡な定常状態にある系の挙動を制限するか、あるいは制限しないか？

主な発見

• 非可逆性測度 $\mathcal{I}$ は、カオス仮説の下で準静的極限（$\gamma \to 0$）において消える。これは、ゆっくりとした過程が可逆性に近づくことを示している。
• 定常状態の存在は、サーモスタットが時間経過でギブス統計を維持することに依存しており、一般系では証明されていないが、仮定されている。
• ガウスの最小制約の原理に基づく有限の決定論的サーモスタットは、無限大の熱浴の簡易モデルとして用いることができる。
• 数値シミュレーションは、非平衡定常状態を探索するために不可欠であり、歴史的にこの分野の発展を牽引してきた。
• 位相空間収縮率 $\sigma_t(x)$ は、局所的ダイナミクスの特徴づけにおいて中心的な役割を果たし、非可逆性関数の定義に用いられる。
• このフレームワークは、非平衡定常状態における普遍的エントロピー関数の存在が議論の余地がある一方で、非可逆性測度 $\mathcal{I}$ が非平衡ダイナミクスを定量的に記述する代替手段として有効である可能性を示唆している。