[論文レビュー] Stationary solutions of a fractional Laplacian with singular perturbation

Andrea Sacchetti|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元の分数ラプラシアンに$n$次ディラックデルタ関数の微分による摂動を加えた定常解を調査し、$\alpha > 2n+1$ の場合に厳密な枠組みを確立する。束縛状態のための行列式条件を導出し、逆フーリエ変換を用いたフォックス$H$関数を含む表現により解を表す。従来のデルタ関数摂動の研究を、高次の特異性へと拡張する。

ABSTRACT

In this report we extend some ideas already developed by [8,11,12] to the case where the singular perturbation is given by a derivative of the Dirac's $δ$.

研究の動機と目的

• デルタ関数（$n=0$）の場合に限らない、分数ラプラシアンの特異摂動理論を、高次の微分（$n \geq 1$）へと拡張すること。
• 分数シュレーディンガー方程式に$\delta^{(n)}$型ポテンシャルを導入した場合に、定常解が存在する条件を確立すること。
• $n$次微分摂動における束縛状態の可解条件（行列式方程式）を導出すること。
• 逆フーリエ変換と特殊関数（フォックス$H$関数など）を用いて固有関数の明示的表現を提供すること。

提案手法

• $ H\psi = E\psi $ の固有値問題を $ H = (-\Delta)^{\alpha/2} + V_0 \delta^{(n)} $ として定式化し、$ \alpha > 2n+1 $ を満たす。
• 積分微分方程式を運動量空間における積分方程式系に変換するためにフーリエ変換を適用する。
• フーリエ変換 $ \phi(p) $ を $ \frac{p^h}{|p|^\alpha - E} $ の線形結合として表現し、係数 $ K_h $ は線形方程式系によって決定される。
• $\det[a_{h,k}(E) - \delta_{h}^{k}] = 0 $ という行列式条件を導出し、許容エネルギー準位 $ E $ を特定する。
• メリン変換の技法と超幾何関数およびフォックス$H$関数の性質を用いて、$ |p|^{-\alpha} $ および $ p^m $ を含む重要な積分を評価する。
• $ \sum_{h,k} \overline{\hat{K}_h} \hat{K}_k M_{h+k,\alpha}(\hat{E}) = 2\pi $ を用いて正規化を計算し、ここで $ M_{m,\alpha}(E) $ は $ |q|^{-\alpha} $ を含むモーメント積分である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 1$ の場合に、$\delta$-摂動に対する分数ラプラシアンの解法が $\delta^{(n)}$-摂動へと拡張可能か。
• RQ2 $n \geq 1$ の場合に $L^2$-解が存在するための $\alpha$ の最小値は何か。
• RQ3 束縛状態のエネルギーと固有関数は、ディラックデルタ関数の微分の次数 $n$ にどのように依存するか。
• RQ4 フォックス$H$関数は、リゾルベントカーネルの逆フーリエ変換を表現する際に果たす役割は何か。
• RQ5 波動関数の正規化条件は、$|p|^{-\alpha}$ を含む積分の形で明示的に計算可能か。

主な発見

• $\alpha > 2n+1$ の場合、$\delta^{(n)}$-摂動を受ける分数シュレーディンガー方程式の $L^2$-解は存在し、行列式 $[a_{h,k}(E) - \delta_{h}^{k}]$ の消滅によって特徴づけられる。
• 束縛状態エネルギー $\hat{E}$ は方程式 $\det[a_{h,k}(E) - \delta_{h}^{k}] = 0 $ の解として得られ、$V_0$、$n$、$\alpha$ に依存する。
• 固有関数 $\psi(x)$ は、関数 $ F_\alpha(x) = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{|p|^\alpha + |\hat{E}|} e^{ipx} dp $ の微分の和として表現され、この関数はフォックス$H$関数を用いて表される。
• 正規化条件 $ \sum_{h,k} \overline{\hat{K}_h} \hat{K}_k M_{h+k,\alpha}(\hat{E}) = 2\pi $ により $ \|\psi\|_{L^2} = 1 $ が保証され、ここで $ M_{m,\alpha}(E) $ は $ |q|^{-\alpha} $ を含む明示的な積分として与えられる。
• $n=0$ の場合、結果は既知の $\delta$-摂動のケースに還元され、従来の研究と整合性が確認される。
• $J_{m,\alpha}(E)$ および $M_{m,\alpha}(E)$ の積分は、ガンマ関数の相反公式を用いて閉形式で評価され、$\sin(\pi(m+1)/\alpha)$ を含む表現が得られる。