[論文レビュー] Statistical Behaviour of the Leaves of Riccati Foliations

Ch. Bonatti, Xavier Gómez-Mont+1 more|ArXiv.org|Jun 18, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoな双曲的リーマン面上のリカッチ葉付き構造における葉の統計的力学を、葉付き測地線流を通して研究する。一般なモノドロミー表現のクラスに対して、流が一意なSRB測度を有し、そのbasinが完全なLebesgue測度を持つことを確立した。この測度は測地線流および水平線流の両方に対して不変であり、葉付き構造上に調和測度へと投影される。

ABSTRACT

We introduce the geodesic flow on the leaves of a holomorphic foliation with leaves of dimension 1 and hyperbolic, corresponding to the unique complete metric of curvature -1 compatible with its conformal structure. We do these for the foliations associated to Riccati equations, which are the projectivisation of the solutions of linear ordinary differential equations over a finite Riemann surface of hyperbolic type S, and may be described by a representation r:pi_1(S) -> GL(n,C). We give conditions under which the foliated geodesic flow has a generic repellor-attractor statistical dynamics. That is, there are measures m- and m+ such that for almost any initial condition with respect to the Lebesgue measure class the statistical average of the foliated geodesic flow converges for negative time to m- and for positive time to m+ (i.e. m+ is the unique SRB-measure and its basin has total Lebesgue measure). These measures are ergodic with respect to the foliated geodesic flow. These measures are also invariant under a foliated horocycle flow and they project to a harmonic measure for the Riccati foliation, which plays the role of an attractor for the statistical behavior of the leaves of the foliation.

研究の動機と目的

• リカッチ方程式に由来する特異な正則的葉付き構造の葉の統計的挙動を理解すること。
• これらの葉における葉付き測地線流が、完全なLebesgue測度のbasinを有するSRB（物理的）測度を有するかどうかを特定すること。
• リカッチ葉付き構造に関して、測地線流および水平線流の不変性を用いて、調和測度の存在および一意性を確立すること。
• テイコフラー理論の文脈においてモノドロミー表現を分析することで、正則な葉付き構造から特異な葉付き構造へのSRB測度の結果の拡張。
• SRB測度が葉付き水平線流に対して不変であり、底面多様体上に調和測度へと投影されることを証明すること。

提案手法

• リカッチ葉付き構造の各葉にポアンカレ計量を導入し、各葉を双曲的リーマン面として扱う。
• 底面多様体上の測地線流の引き戻しを用いて、葉付き構造の単位接束上に葉付き測地線流を定義する。
• 葉付き水平線流を構成し、SRB測度が測地線流および水平線流の両方に対して不変であることを示す。
• 底面多様体の基本群の標準的表現を用いて、線形常微分方程式のモノドロミーを定義し、これによりリカッチ葉付き構造を導く。
• ベルズの同時均質化定理を適用し、標準的表現に近い表現が擬等角的に共役であることを示し、力学的性質を保存することを示す。
• 共役性を用いて、標準的状況からのSRB測度を近接する表現へと移行させ、絶対連続性を介してその存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リカッチ葉付き構造における葉付き測地線流が、完全なLebesgue測度のbasinを有する一意なSRB測度を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 SRB測度はリカッチ葉付き構造上の調和測度とどのように関係するか？
• RQ3 葉付き水平線流はSRB測度を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 モノドロミー表現の擬等角的共役性の下で、測地線流の力学的性質はどの程度保存されるか？
• RQ5 SRB測度の存在および一意性は、表現空間内の標準的表現の近傍へと拡張可能か？

主な発見

• 標準的表現の近傍に属するモノドロミー表現に付随するリカッチ葉付き構造に対して、葉付き測地線流は正負の両方の時間に対して、完全なLebesgue測度のbasinを有する一意なSRB測度を有する。
• SRB測度は測地線流および水平線流の両方に対して不変であり、動的特徴づけが確立される。
• SRB測度の底面多様体への投影は、リカッチ葉付き構造の調和測度であり、これは一意的かつエルゴディック的である。
• SRB測度は擬等角的共役を介して標準的SRB測度の押し出しとして得られ、絶対連続性が保存される。
• 測地線流は一般に吸引子・反発子の力学的挙動を示す：ほとんどすべての軌道は時間 → +∞ で正のSRB測度に統計的に収束し、時間 → -∞ で負のSRB測度に収束する。
• テイコフラー空間内でのモノドロミー表現の微小変形に対しても、このようなSRB測度の存在は安定であり、擬等角的共役性に起因する。