[論文レビュー] Statistical convergence of order $\alpha$ in probability

Pratulananda Das, Sanjoy Ghosal+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、確率論における確率的変数列のための統計的収束の4つの新しいモードを導入し、分析する。すなわち、確率論的収束の順序αにおける統計的収束、確率論的収束の順序αにおける強いp-Cesàro和、lacunary統計的収束（Sθ収束）の順序αにおける収束、および確率論的収束の順序αにおけるNθ収束である。これらの間の関係を確立し、極限の一意性を証明し、αとβに応じてクラス間に厳密な包含関係が成立することを示す。特に、lacunary列の成長率（lim inf qr > 1）が重要な役割を果たす。

ABSTRACT

In this paper ideas of different types of convergence of a sequence of random variables in probability, namely, statistical convergence of order $\alpha$ in probability, strong $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro summability of order $\alpha$ in probability, lacunary statistical convergence or $S_{ heta}$-convergence of order $\alpha$ in probability, ${N_{ heta}}$-convergence of order $\alpha$ in probability have been introduced and their certain basic properties have been studied.

研究の動機と目的

• 確率論における確率的変数列に対する統計的収束の概念を拡張し、統計的収束の順序α、強いp-Cesàro和の順序α、lacunary統計的収束（Sθ収束）の順序α、およびNθ収束の順序αの4つの新しい収束モードを導入する。
• これらの4つの収束モードの間の基本的性質および関係を確立し、特にそれらの相互依存性と階層関係に焦点を当てる。
• 異なる収束モードが互いに含意する条件を調査する。特に、lacunary列の成長率（lim inf qr > 1で特徴づけられる）が果たす役割に注目する。
• 標準的統計的収束の逆が確率的設定では成り立たないことを示し、反例を用いて、順序αの収束がα < βの順序βの収束を含意しないことを示す。
• 4つの収束モードのそれぞれについて、極限の一意性を証明し、異なる収束モードからの極限が一致する条件を明確にする。

提案手法

• 統計的収束の順序αを確率論的収束として、次の条件により導入する：すべてのε, δ > 0に対して limₙ→∞ (1/n^α) |{k ≤ n : P(|Xₖ − X| ≥ ε) ≥ δ}| = 0。
• Cesàro平均を確率的収束に拡張することで、確率論的収束の順序αにおける強いp-Cesàro和の定義を提示する。
• lacunary列θ = {θᵣ}を用い、次の条件により、確率論的収束の順序αにおけるlacunary統計的収束（Sθ収束）を導入する：limᵣ→∞ (1/hᵣ^α) Σ_{k∈Iᵣ} P(|Xₖ − X| ≥ ε) = 0。
• lacunary区間における確率の平均を用いて、確率論的収束の順序αにおけるNθ収束を定義する：limᵣ→∞ (1/hᵣ^α) Σ_{k∈Iᵣ} P(|Xₖ − X| ≥ ε) = 0。
• α-自然密度およびlacunary区間の成長率（hᵣ = θᵣ − θᵣ₋₁）の概念を用いて、収束の挙動を分析する。
• 背理法および比較法を用いて、収束クラス間の包含関係を証明し、特にα < βのときPNαθ ⊂ PSβθが成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率論的収束の順序αが、α < βのとき収束の順序βを含意するか、あるいは含意しない条件は何か？
• RQ2 統計的収束、強いp-Cesàro収束、Sθ収束、Nθ収束の4つの収束モードは、包含関係および同値性の観点からどのように関係しているか？
• RQ3 lacunary列の成長率（lim inf qr > 1）が、異なる収束モード間の関係を決定づける役割を果たすのはどのような点か？
• RQ4 α < βのとき、順序αにおける統計的収束を満たすが、順序βにおける統計的収束を満たさないような列は存在するか？もしあるならば、どのように構成できるか？
• RQ5 これらの収束モードのいずれかの下で、列の極限は一意的か？また、異なる収束モードからの極限が一致する条件は何か？

主な発見

• 確率論的収束の順序αにおける統計的収束の極限は、ほとんど確実に一意的である。すなわち、2つの極限が存在するならばP{X = Y} = 1である。
• 任意のα, β ∈ (0,1]に対して、Xₙ → X in Sα かつ Xₙ → Y in Sβ ならば、P{X = Y} = 1である。これは、確率論的収束における極限の一意性を証明する。
• α < βのとき、PSα ⊂ PSβ が成り立ち、この包含関係は厳密である。つまり、順序βで収束するが順序αで収束しないような列が存在する。
• 固定されたlacunary列θに対して、Sθ極限およびNθ極限は一意的であるが、異なるlacunary列では異なる極限が得られることがある。例3.1で示されている。
• α < βのとき、PNαθ ⊂ PSβθ が成り立ち、この包含関係は厳密である。これは、Sβ収束するがNα収束しないような列を構成することで示された。
• PSα ⊂ PSβθ が成り立つための必要十分条件は lim inf qr > 1 である。lim inf qr = 1 ならば、順序αで統計的収束するが、順序β（β > α）でSθ収束しないような列が存在する。