[論文レビュー] Statistical Cost Sharing

Eric Balkanski, Umar Syed+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Game Theory and Voting Systems被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、部分集合のコストに関するサンプルデータしか入手できない状況下で、公平なコスト配分（特にコアとシャープレー値）を計算するためのフレームワーク、統計的コスト共有を導入する。全コスト関数を学習することなく、直接的にコスト配分を計算する手法を提案し、サンプルの複雑さに関する境界を証明するとともに、サンプルから正確に近似可能なデータ依存シャープレー値を導入する。

ABSTRACT

We study the cost sharing problem for cooperative games in situations where the cost function $C$ is not available via oracle queries, but must instead be derived from data, represented as tuples $(S, C(S))$, for different subsets $S$ of players. We formalize this approach, which we call statistical cost sharing, and consider the computation of the core and the Shapley value, when the tuples are drawn from some distribution $\mathcal{D}$. Previous work by Balcan et al. in this setting showed how to compute cost shares that satisfy the core property with high probability for limited classes of functions. We expand on their work and give an algorithm that computes such cost shares for any function with a non-empty core. We complement these results by proving an inapproximability lower bound for a weaker relaxation. We then turn our attention to the Shapley value. We first show that when cost functions come from the family of submodular functions with bounded curvature, $κ$, the Shapley value can be approximated from samples up to a $\sqrt{1 - κ}$ factor, and that the bound is tight. We then define statistical analogues of the Shapley axioms, and derive a notion of statistical Shapley value. We show that these can always be approximated arbitrarily well for general functions over any distribution $\mathcal{D}$.

研究の動機と目的

• 完全なオракルアクセスが得られない部分的かつサンプル化されたサブセットコストのデータがある状況で、公平なコスト配分を計算する課題に対処すること。
• 従来の統計的コア計算の研究を、非空コアを持つすべてのゲームに一般化し、制限付き関数クラスに限定しないこと。
• サンプルデータに特化した統計的アナログとしてのシャープレー値、すなわちデータ依存シャープレー値を導入し、形式化すること。
• 高い確率でコアとシャープレー値の両方を正確に近似できるよう保証するサンプル複雑さの境界を確立すること。
• 公平性と一貫性をデータ駆動型の文脈で保証するため、シャープレー公理の統計的アナログを定義・検証すること。

提案手法

• サンプルされたタプル $(S, C(S))$ のみを用いて、コスト関数を明示的に学習せずにコアのためのコスト配分を直接計算するアルゴリズムを提案する。
• 古典的シャープレー値の統計的アナログとして、データ依存シャープレー値 $\phi^\mathcal{D}_i = \sum_{S: i \in S} \Pr[S \sim \mathcal{D}] \cdot \frac{C(S)}{|S|}$ を定義する。
• 実用的な推定のため、経験的データ依存シャープレー値 $\tilde{\phi}^\mathcal{D}_i = \frac{1}{m} \sum_{S_j: i \in S_j} \frac{C(S_j)}{|S_j|}$ を定義する。
• ホーフィングの不等式を用いて推定誤差をバウンドし、$\text{poly}(n, 1/\epsilon, 1/\delta)$ 個のサンプルで $|\tilde{\phi}^\mathcal{D}_i - \phi^\mathcal{D}_i| < \epsilon$ が高確率で成り立つことを示す。
• データ依存シャープレー値が、古典的シャープレー公理の4つの統計的アナログ（バランス、対称性、ゼロ要素、加法性）を満たすことを証明する。
• 緩和されたコア満たしの近似不能性に関する結果を確立し、一般に確率1で正確なコア適合を保証することはできないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非空コアを持つ任意のコスト関数について、サンプルデータからコア性質を満たすコスト配分を高確率で効率的に計算できるか？
• RQ2 特に曲率が有界なサブモジュラー関数に対して、シャープレー値をデータから近似するのに必要なサンプル複雑さは何か？
• RQ3 サンプルされたプレイヤーの部分集合しか観測できない統計的フレームワークにおいて、古典的シャープレー値を再定義することは可能か？
• RQ4 得られた値が公平かつデータから推定可能であるように、シャープレー公理の統計的版を定義できるか？
• RQ5 コスト関数が部分的にしか観測できない状況で、コアまたはシャープレー値を高確率で近似することは可能か？

主な発見

• 非空コアを持つ任意のコスト関数について、高確率でコアを満たすコスト配分を計算するアルゴリズムを提示し、明示的なサンプル複雑さの境界を提供する。
• 曲率 $\kappa$ を持つサブモジュラー関数に対しては、シャープレー値が $\sqrt{1 - \kappa}$ 要因以内にサンプルから近似可能であり、この境界はタイトである。
• データ依存シャープレー値は、シャープレー公理の4つの統計的アナログをすべて満たし、サンプリングモデル下でも公平性と一貫性を保証する。
• 経験的データ依存シャープレー値は、$\text{poly}(n, 1/\epsilon, 1/\delta)$ 個のサンプルで、真のデータ依存シャープレー値との誤差が $\epsilon$ 以内になる確率が $1 - \delta$ 以上で近似可能である。
• 一般に確率1でコアを近似的に満たすことは不可能であることが証明され、統計的設定における根本的な限界が示された。
• このフレームワークにより、完全なコスト関数へのアクセスが不可能な実世界の応用、例えばモバイルバッテリーの貢献度割り当てやプレイヤーの影響スコアリングにおいても、正確なコスト配分が可能になる。