[論文レビュー] Statistical dependence: Beyond Pearson's $ ho$

Dag Tjøstheim, Håkon Otneim+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非正規分布、非線形、重い尾を持つデータにおける限界を克服するためのピアソンの積率相関係数の現代的代替手法を調査している。特に、コプルラ、距離共分散、HSIC、および局所ガウス相関（LGC）を焦点としている。LGCは非正規設定においてピアソンのρを凌駕するが、正規分布でも良好な性能を示す、局所的かつ適応的な従属の測定法である。

ABSTRACT

Pearson's $\ ho$ is the most used measure of statistical dependence. It gives a complete characterization of dependence in the Gaussian case, and it also works well in some non-Gaussian situations. It is well known, however, that it has a number of shortcomings; in particular for heavy tailed distributions and in nonlinear situations, where it may produce misleading, and even disastrous results. In recent years a number of alternatives have been proposed. In this paper, we will survey these developments, especially results obtained in the last couple of decades. Among measures discussed are the copula, distribution-based measures, the distance covariance, the HSIC measure popular in machine learning, and finally the local Gaussian correlation, which is a local version of Pearson's $\ ho$. Throughout we put the emphasis on conceptual developments and a comparison of these. We point out relevant references to technical details as well as comparative empirical and simulated experiments. There is a broad selection of references under each topic treated.

研究の動機と目的

• 非正規分布、非線形、重い尾を持つ分布において、ピアソンのρが誤解を招く結果を生じる可能性があるという限界を解決すること。
• コプルラベース、分布ベース、局所的アプローチを含む、従属測度分野における最近の発展をレビューおよび比較すること。
• 局所ガウス相関（LGC）が、グローバル相関測度の柔軟で局所的な代替手段として優れていることを示すこと。
• LGCおよびその他の現代的従属測度を統計的検定およびモデリングに用いる理論的・実証的根拠を提供すること。
• ピアソンのρおよび距離共分散（dcov）といった従来手法と比較して、LGCに基づく独立性検定の性能をシミュレーションスタディで評価すること。

提案手法

• コプルラ、分布ベースの関数、距離共分散、HSIC、および局所ガウス相関（LGC）といった複数の従属測度をサーベイおよび比較する。
• LGCを、各点 (x₁, x₂) における局所ガウス尤度近似を用いて定義する。これにより、局所的な従属の推定が可能となる。
• 局所ガウス尤度を用いて、局所平均、分散、および相関を導出する。中心的な式は ρ(x₁, x₂) = σ̂(x₁, x₂)/(σ̂₁(x₁)σ̂₂(x₂)) である。
• LGCを用いた独立性のための検定関数を構築する。例えば、Tₙ,ᵦ = ∫ h(θ̂ₙ,ᵦ(x)) dFₙ(x) であり、h は可測関数、Fₙ は経験分布関数である。
• 時系列およびi.i.d.設定において、LGCに基づく検定の漸近理論を検証するために、ブロックブートストラップおよびブートストラップ法を適用する。
• 複数のラグにわたる和および最大統計量を含むように検定関数を拡張する。Tₙ,ᵦ(sum) = ∑ₛ₁ˢ² Tₙ,ᵦ⁽ˢ⁾ および Tₙ,ᵦ(max) = maxₛ₁≤s≤s₂ |Tₙ,ᵦ⁽ˢ⁾| である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LGC、距離共分散、HSICといった現代的従属測度は、非線形的かつ非正規的従属をピアソンのρと比較してどれほどうまく捉えられるか？
• RQ2 異質的または非楕円的データにおいて、局所ガウス相関（LGC）がグローバル相関測度よりも理論的・実証的にどのような利点を有するか？
• RQ3 非正規的および重い尾を持つ分布において、LGCに基づく検定関数は、ピアソンのρやdcovよりも従属をより効果的に検出できるか？
• RQ4 対称性（径方向、反転、交換、回転）の性質が、LGCの挙動およびその推定にどのように影響するか？
• RQ5 時系列文脈において、LGCに基づく独立性検定の性能は、特にブロックブートストラップおよび漸近近似を用いた場合にどうなるか？

主な発見

• LGCに基づく検定は非正規設定においてピアソンのρを上回るが、正規分布でも最適なρと同様に良好な性能を示す。
• LGC検定関数、特にラグにわたる和および最大統計量は、シミュレーション実験においてdcovよりも優れたパワーを示す。
• LGCは望ましい対称性を示す：径方向、反転、交換、回転対称性が相関推定に保たれる。
• 局所ガウス相関はアフィン変換に対して不変である：ρ(Y₁,Y₂)(y₁,y₂) = ρ(α₁+β₁X₁,α₂+β₂X₂)(α₁+β₁x₁,α₂+β₂x₂)。
• ブロックブートストラップを含むブートストラップ法は、時系列におけるLGCに基づく独立性検定の有効性が確認され、一貫性のある漸近理論が裏付けられる。
• 実証的およびシミュレーション実験により、LGCに基づく検定が、ピアソンのρが失敗する重い尾および非線形データにおける従属の検出において、頑健で効果的であることが確認される。