[論文レビュー] Statistical distributions of quasi-optimal paths in the traveling salesman problem: the role of the initial distribution of cities

H. Hernández-Saldaña, M. Gómez-Quezada+1 more|Redalyc (Universidad Autónoma del Estado de México)|Mar 20, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、初期の都市空間的分布が準最適巡回セールスマン問題（TSP）経路の統計的性質に与える影響を調査する。一様分布および正規分布のノイズを用いた摂動された格子モデルを用い、都市分布のランダム性が増すにつれて、経路長の最近接距離の分布がランク2またはランク3のデイジー・モデルに移行することが示された。特に、摂動が周期的格子の格子点と重複する際に、この遷移が発生し、これがメキシコにおける実際の企業選挙の投票分布と関連づけられる。

ABSTRACT

Solutions to Traveling salesman problem have been obtained with several algorithms. However, few of them has discussed about the statistical distribution of lengths for the quasi-optimal path obtained. For a random set of cities such a distribution follows a rank 2 daisy model but our analysis on actual distribution of cities does not show the characteristic quadratic growth of the daisy model. The role played by the initial city distribution is explored in this work. The importance of understanding such a behavior in the context of electoral processes is discussed.

研究の動機と目的

• ランダムに配置された都市では見られるランク2のユニバーサル・デイジー・モデルに、現実のTSP解が従わない理由を理解すること。
• 特に周期的格子にランダムなノイズを加えた初期都市配置が、準最適TSP経路の統計的性質に与える影響を調査すること。
• 統計的挙動が非ユニバーサルからユニバーサル（デイジー・モデル）に移行する遷移点を特定すること。
• TSP経路長の統計と、メキシコの選挙における企業投票分布のような現実の社会現象との間の関連性を検討すること。
• 国全体のTSP地図がユニバーサルな統計的性質を示すのか、それとも初期配置に依存するダイナミクスによって支配されるのかを評価すること。

提案手法

• モデル1：都市の長方形格子に、幅σの一様乱数分布を用いて摂動を加え、都市配置のばらつきを模擬する。
• モデル2：同じ格子に正規乱数摂動を適用し、σを標準偏差とする。
• 多項式フィッティングを用いて、累積経路長分布の長期的（システム固有）成分と揺らぎ（ユニバーサル）成分を分離する。
• Σ²統計量を用いてレベル間隔の揺らぎを分析し、デイジー・モデルの予測と比較する。
• TSP経路長分布を、特に2000年から2006年までのメキシコの企業選挙の投票分布データにマッピングし、統計的類似性を検証する。
• 最近接距離の経路長に、ランクrのデイジー・モデルをフィットさせ、r = 2およびr = 3を主な基準点とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ現実の国レベルのTSP地図は、ランダムに配置された都市とは異なり、ランク2デイジー・モデルの特徴的な2次成長を示さないのか？
• RQ2 摂動の強さ（σ）がどの程度の値で、摂動付き格子の統計的挙動が非ユニバーサルからデイジー・モデルに類似した挙動に遷移するのか？
• RQ3 摂動分布と元の格子間隔の重複が、デイジー・モデルの出現を引き起こす意義は何か？
• RQ4 TSP経路長の統計的構造を、企業投票分布のような現実の社会現象と意味的に結びつけることができるか？
• RQ5 国全体のTSP地図はユニバーサルな統計的性質を示すのか、それとも初期都市配置の詳細に支配されるのか？

主な発見

• ランダムに配置された都市の場合、経路長の最近接距離は、先行研究に従い、ランク2のデイジー・モデルに従う。
• これに対して、実際の国レベルの地図では、ランク2デイジー・モデルの特徴的な2次成長が観察されず、非ユニバーサルな挙動が示された。
• モデル1（一様摂動）では、σ = b（bは格子間隔）のとき、ランク3のデイジー・モデルが出現する。これは摂動分布が重なったことを示している。
• モデル2（正規摂動）では、σ = b/2のとき、ランク3デイジー・モデルが適合し、これは2σが格子間隔をカバーするにあたる。
• モデル1においてσ = 15.0のとき、Σ²統計量の勾配は0.317486 ± 7.31×10⁻⁵であり、ランク2デイジー・モデルの理論値1/3に近く、一致している。
• TSP経路長分布の尾部減衰と、2006年のメキシコの企業選挙の投票分布との間に強い統計的類似性が観察され、両者ともランク3のデイジー・モデルに適合した。