[論文レビュー] Statistical Estimation of Composite Risk Functionals and Risk Optimization Problems

Darinka Dentcheva, Spiridon Penev+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 36被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ファイナンスおよび保険分野で一般的に用いられる確率測度の非線形関数である合成リスク関数型の統計的推定のための枠組みを構築する。この枠組みでは、これらの推定量の中心極限定理を確立し、リスク最適化問題における最適値の漸近正規性を証明することで、一般の標本条件下でも一貫性のある推論や信頼区間が可能になる。特に、AVaR や平均半分散といった一貫性のあるリスク測度に対して有効である。

ABSTRACT

We address the statistical estimation of composite functionals whichmay be nonlinear in the probability measure. Our study is motivated bythe need to estimate coherent measures of risk, which become increasinglypopular in finance, insurance, and other areas associated with optimization under uncertainty and risk. We establish central limit formulae forcomposite risk functionals. Furthermore, we discuss the asymptotic behavior of optimization problems whose objectives are composite risk functionals and we establish a central limit formula of their optimal valueswhen an estimator of the risk functional is used. While the mathematicalstructures accommodate commonly used coherent measures of risk, theyhave more general character, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 確率測度に対して非線形な合成リスク関数型の統計的推定、特にリスク最適化意思決定問題における推定を扱う。
• AVaR や平均半分散といった一貫性のあるリスク測度の推定量の漸近正規性を確立する。これらは基礎となる分布に対して非線形である。
• 経験的リスク推定量を用いた場合のリスク最適化問題における最適値の漸近的挙動を分析する。
• リスク評価において生じる無限次元関数型にまで拡張可能なデルタ法の適用範囲を拡大する。特に、正規分布や重たい尾を持つ分布の設定において有効である。
• リスク回避的最適化における統計的推論の理論的基盤を提供する。これには信頼区間や収束速度の評価が含まれる。

提案手法

• 経験測度の非線形関数として扱うことで、合成リスク関数型の漸近的分布を導出する無限次元デルタ法を用いる。
• リスク関数型を統計的関数型とリスク測度の合成としてモデル化する。例えば、平均半分散の場合は ̺(X) = E[X] + κ(E[(X−E[X])+^p])^{1/p} と表される。
• Kusuoka表現を用いて、一般の分布不変一貫性リスク測度をAVaR関数型の積分として表現し、結果の一般化を可能にする。
• 弱い正則性条件およびモーメント条件の下で、リスク関数型推定量の中心極限定理を導出する。p ≥ 1 のp次のモーメントの可積分性を含む。
• 双対性および凸解析を用いて、リスク関数型を目的関数とする最適化問題を扱い、経験的推定に基づく最適値の収束を証明する。
• 正規分布およびt分布に従うデータを用いたシミュレーションスタディを通じて、尾の重さや標本サイズの変動に応じた推定量の漸近正規性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度に対して非線形な合成リスク関数型を、特にリスク最適化意思決定問題においてどのように統計的に推定できるか。
• RQ2 経験的標本に基づくAVaR や平均半分散といった一貫性のあるリスク測度の推定量の漸近的分布はどのように特定できるか。
• RQ3 リスク関数型がデータから推定される場合、リスク最適化問題の最適値はどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ4 特に自由度が小さいt分布のような重たい尾を持つ分布において、リスク推定量の漸近正規性はどの程度成立するか。
• RQ5 中心極限定理を標準的なリスク測度を超えた一般の合成関数型へ拡張できるか。そのために必要な正則性条件は何か。

主な発見

• 関数型が確率測度に対して非線形であっても、ややい intrusive な正則性およびモーメント条件のもとで、合成リスク関数型推定量の中心極限定理が成立する。
• p = 2 の平均半分散リスク測度において、漸近的分散は基礎となる分布の四次モーメントに依存する。t分布では ν > 4 のとき四次モーメントは有限である。
• 基礎となる分布が重たい尾を持つ場合（例：ν = 4 のt分布）、四次モーメントは無限大であり、リスク推定量の正規近似は崩壊する。このことはシミュレーションでも確認された。
• 尾の重さが増すにつれて、リスク推定量の正規近似の精度が著しく低下し、正規分布のデータと同等の精度を得るには顕著に大きな標本サイズ（例：n = 8000）が必要となる。
• ν = 60 のt分布では、n = 4000 でも正規近似が比較的正確に成立しており、収束の速度が尾の挙動に敏感であることが示された。
• 本手法はリスク測度に限らず、リスク関数型を目的関数とする最適化問題へも広く適用可能であり、経験的リスク推定量を用いる場合、最適値が漸近的に正規分布に収束することが確認された。