[論文レビュー] Statistical inference and hypotheses testing of risk averse stochastic programs

Vincent Guigues, Volker Krätschmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、サンプル平均近似（SAA）を用いたリスク回避的確率的計画法における統計的推論および仮説検定手法を開発する。法則に依存しない一貫したリスク測度の下で、最適値および最適解に対する中心極限定理型の結果を確立し、複数の確率的計画法間での最適値を比較する漸近的および非漸近的検定を可能にする。主な貢献は、特に小規模から中規模のサンプルサイズにおいて、漸近的検定が非漸近的手法に比べて第2種の誤りを顕著に低減することを示したことにある。

ABSTRACT

We study statistical properties of the optimal value and optimal solutions of the Sample Average Approximation of risk averse stochastic problems. Central Limit Theorem type results are derived for the optimal value and optimal solutions when the stochastic program is expressed in terms of a law invariant coherent risk measure. The obtained results are applied to hypotheses testing problems aiming at comparing the optimal values of several risk averse convex stochastic programs on the basis of samples of the underlying random vectors. We also consider non-asymptotic tests based on confidence intervals on the optimal values of the stochastic programs obtained using the Stochastic Mirror Descent algorithm. Numerical simulations show how to use our developments to choose among different distributions and show the superiority of the asymptotic tests on a class of risk averse stochastic programs.

研究の動機と目的

• 法則に依存しない一貫したリスク測度で定式化されたリスク回避的確率的計画法の最適値および最適解に対する統計的推論手法の開発。
• 標本データを用いて、複数のリスク回避的確率的計画法間の最適値を比較する仮説検定を可能にする。
• さまざまなサンプルサイズおよび問題次元における、漸近的と非漸近的検定の第2種の誤り率を評価する。
• 統計的信頼区間を用いたリスク測度の順位に基づいて、候補となる解や分布の選択を支援する実用的ツールの提供。

提案手法

• 法則に依存しない一貫したリスク測度の下で、サンプル平均近似（SAA）問題の最適値および最適解に対する中心極限定理型の漸近的分布を導出する。
• SAA法を用いて、元の確率的計画法を元の確率的ベクトルのi.i.d.標本で近似し、正則性条件の下で収束性を分析する。
• K個のリスク回避的凸確率的計画法間の最適値を比較する仮説検定のための漸近的検定を構築する。等値、不等値、順序制約を含む。
• 確率的ミラー降下法から導かれる信頼区間を基に、有限標本における最適値の差を評価する非漸近的検定を提案する。
• 数値的シミュレーションを用いて、漸近的および非漸近的検定の実効的性能を第2種の誤り率および信頼区間幅の観点から比較する。
• テストの正確性を検証するため、真の最適値を推定するために $10^6$ のサンプルサイズを有するベンチマークを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SAAを用いたリスク回避的確率的計画法の最適値および最適解に対して、漸近的統計的推論を信頼性を持って適用できるか？
• RQ2 小規模から中規模のサンプルサイズにおいて、漸近的および非漸近的仮説検定の第2種の誤り率はどのように比較されるか？
• RQ3 N=20というような非常に小さいサンプルサイズでも、SAA最適値の正規近似は、リスク回避的問題に対してどの程度有効か？
• RQ4 統計的検定を用いて、リスク測度値に基づいて異なる候補分布や解を効果的に選択できるか？
• RQ5 漸近的および非漸近的手法の信頼区間は、幅および真の最適値への近さの観点でどのように比較されるか？

主な発見

• N=100を超えるサンプルサイズでは、すべてのテスト比較において漸近的検定は第2種の誤りがゼロとなるが、非漸近的検定は一部のケースでN=10^5まで100％の第2種の誤りを維持する。
• N=20の場合、最適値の漸近的信頼区間はすでに真の値に近く、カバレッジ確率は名目水準に近づいている。
• 漸近的検定は、信頼区間の境界がきつくて正確であるため、小規模なサンプルサイズにおいても非漸近的検定に比べて第2種の誤りを顕著に低減する。
• N ≥ 20 および n=10,000 までの問題サイズにおいて、SAA最適値分布の正規近似は正確である。
• 漸近的信頼区間は非漸近的区間よりも狭く、真の最適値に近いことから、真の対立仮説を検出するパワーが優れている。
• N=10^5の場合、漸近的検定はすべての比較で第2種の誤りがゼロとなるが、非漸近的検定は一部のケースで依然100％の第2種の誤りを示しており、顕著な性能差が確認された。