[論文レビュー] Statistical Mechanics for States with Complex Eigenvalues and Quasi-stable Semiclassical Systems

T. Kobayashi, Toshiki Shimbori|arXiv (Cornell University)|May 15, 2000

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素固有値をもつ量子系に統計力学を拡張し、ゲルファンドトリプレットを用いて不安定または共鳴状態を表現する。等ア・プリオリ確率の原理を適用することで、エネルギー固有値の虚数部から新たなエントロピー項を導入し、共通の崩壊時間スケールである新たな物理的観測可能性を導出する。高次元においては、定常量子フローで接続された不安定な構成要素から成る安定的および準安定的系の存在を示し、放物型ポテンシャル障壁を例に挙げる。

ABSTRACT

Statistical mechanics for states with complex eigenvalues, which are described by Gel'fand triplet and represent unstable states like resonances, are discussed on the basis of principle of equal ${\it a priori}$ probability. A new entropy corresponding to the freedom for the imaginary eigenvalues appears in the theory. In equilibriums it induces a new physical observable which can be identified as a common time scale. It is remarkable that in spaces with more than 2 dimensions we find out existence of stable and quasi-stable systems, even though all constituents are unstable. In such systems all constituents are connected by stationary flows which are generally observable and then we can say that they are semiclassical systems. Examples for such semiclassical systems are constructed in parabolic potential barriers. The flexible structure of the systems is also pointed out.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、共鳴状態や不安定系を記述する複素エネルギー固有値をもつ量子状態のための統計力学フレームワークを構築することである。
• このような系が崩壊時間が長い場合に、不安定であるにもかかわらず熱的平衡に達できるかどうかを調査することである。
• 特に、複素エネルギーの虚数部から生じる新たな物理的観測可能性（特に共通の時間スケール）を同定することである。
• 不安定な粒子が定常量子フローで接続された系の物理的実現可能性と安定性を調査することである。
• 高次元において、不安定な構成要素から安定的または準安定的多体系がどのように生成されるかの条件を検討することである。

提案手法

• 理論は、複素エネルギー固有値 $\varepsilon_{ij_i} = \epsilon_i - i\gamma_{j_i}$ の形をとる等ア・プリオリ確率の原理に基づくもので、ここで $\epsilon_i, \gamma_{j_i} \in \mathbb{R}$ である。
• 全系のエントロピーは二つの部分に分解される： $S(\mathcal{E}) = S^\Re(E) + S^\Im(\Gamma)$、ここで $S^\Re$ は標準的なボルツマンエントロピーであり、$S^\Im$ は虚数エネルギー部の自由度に起因する新たなエントロピーである。
• 利用可能な状態数は $W(\mathcal{E}) = W^\Re(E) \cdot W^\Im(\Gamma)$ と因数分解され、実部と虚数部のエネルギー成分を独立に取り扱う。
• 二つの系間の平衡状態は、全エントロピー $S = S^\Re(E_\mathrm{I} + E_\mathrm{II}) + S^\Im(\Gamma_\mathrm{I} + \Gamma_\mathrm{II})$ の最大化により解析され、新たな観測可能性として共通の時間スケールが得られる。
• モデルは2次元の放物型ポテンシャル障壁に適用され、定常量子フローが構成要素を接続することで、準安定的系の形成が可能となる。
• 実部と虚数部が結合する場合の拡張も行われ、制約付き和 $W(\mathcal{E}) = \sum_{\epsilon_1}\cdots\sum_{\epsilon_N} \delta_{\sum_j \epsilon_j, E} \cdot W^\Im(\Gamma : \epsilon_1, \dots, \epsilon_N)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長寿命の崩壊時間を持つ場合に、複素エネルギー固有値をもつ系に統計力学を意味的に適用できるか？
• RQ2 平衡状態において、複素エネルギー固有値の虚数部からどのような新たな物理的観測可能性が生じるか？
• RQ3 三次元以上の次元において、不安定な構成要素から安定的または準安定的多体系が形成可能か？
• RQ4 同時に流入と流出の振幅を運ぶ定常量子フローは、このような準安定的系の存在をどのように可能にするか？
• RQ5 複素共役固有値のペアリング（$a \pm ib$）は、ゲルファンドトリプレット枠組み内での実エネルギー解の安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 複素エネルギー固有値の虚数部の自由度に起因する新たなエントロピー項 $S^\Im(\Gamma)$ が生じ、標準的なボルツマンエントロピーが拡張される。
• 熱的平衡において、虚数エネルギー成分から新たな物理的観測可能性（共通の崩壊時間スケール）が導出される。
• 2次元以上の空間次元をもつ系では、すべての構成要素が本質的に不安定である場合でも、定常量子フローのおかげで安定的および準安定的構成が形成可能である。
• 等しい流入および流出の量子振幅を運ぶ定常フローは、一般に観測可能であり、量子的および古典的挙動の橋渡しを果たす。
• 2次元放物型ポテンシャル障壁における明示的モデルは、このような準安定的系の存在を示しており、重心運動と相対運動のダイナミクスが分離可能である。
• このフレームワークは柔軟な構造を可能とし、構成要素間の距離が任意に取りうることから、電子系や化学結合といった現実の系へも応用可能である。