[論文レビュー] Statistical mechanics of self-gravitating systems in general relativity: I. The quantum Fermi gas

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 319被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における自己重力的フェルミ粒子系の統計力学的枠組みを構築し、エントロピー最大化を用いて平衡状態および状態方程式を導出する。Tolman-Oppenheimer-Volkoff方程式およびTolman-Klein関係式を回復し、非相対論的極限ではニュートン理論の結果を再現する。主な応用は白色矮星および中性子星に向けられる。

ABSTRACT

We develop a general formalism to determine the statistical equilibrium states of self-gravitating systems in general relativity and complete previous works on the subject. Our results are valid for an arbitrary form of entropy but, for illustration, we explicitly consider the Fermi-Dirac entropy for fermions. The maximization of entropy at fixed mass-energy and particle number determines the distribution function of the system and its equation of state. It also implies the Tolman-Oppenheimer-Volkoff equations of hydrostatic equilibrium and the Tolman-Klein relations. Our paper provides all the necessary equations that are needed to construct the caloric curves of self-gravitating fermions in general relativity as done in recent works. We consider the nonrelativistic limit $c\ ightarrow +\\infty$ and recover the equations obtained within the framework of Newtonian gravity. We also discuss the inequivalence of statistical ensembles as well as the relation between the dynamical and thermodynamical stability of self-gravitating systems in Newtonian gravity and general relativity.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における自己重力的系の統計的平衡状態を決定する一般形式を構築すること。
• フェルミ・ディラック統計を用いて量子フェルミ粒子にこの形式を適用し、特に白色矮星および中性子星に特に関連する。
• エントロピー最大化から、静的平衡のTolman-Oppenheimer-Volkoff方程式およびTolman-Klein関係式を導出すること。
• 非相対論的極限（$c \to \infty$）においてニュートン理論の結果を回復し、既知の天体物理学的モデルと整合することを検証すること。
• ニュートン的および相対論的両領域における統計集団の非等価性と、力学的安定性と熱力学的安定性の関係を明確にすること。

提案手法

• 固定された質量エネルギーおよび粒子数のもとでエントロピーを最大化し、平衡分布関数および状態方程式を決定する。
• 一般形式の具体的な例として、フェルミ・ディラックエントロピー関数を用いる。
• エントロピー最大化原理から、静的平衡のTolman-Oppenheimer-Volkoff方程式を導出する。
• 一般相対性理論における温度、化学ポテンシャルおよび重力ポテンシャルの間のTolman-Klein関係を確立する。
• 導出された圧縮性状態方程式を用いて、相対論的オイラー＝アインシュタイン方程式を統合し、カロリック曲線を構築する。
• 非相対論的極限（$c \to \infty$）に形式を適用し、ニュートン理論の結果、特に Chandrasekhar の限界質量を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における自己重力的フェルミ粒子系の統計的平衡状態を、エントロピー最大化から体系的にどのように導出できるか？
• RQ2 ニュートンモデルと比較して、白色矮星および中性子星の質量半径関係における相対論的補正は何か？
• RQ3 Tolman-Oppenheimer-Volkoff方程式およびTolman-Klein関係式は、統計力学的枠組みからどのように導出されるか？
• RQ4 自己重力的系において、熱力学的安定性（エントロピー最大化）と力学的安定性（エネルギーまたは自由エネルギーの最小化）の関係は何か？
• RQ5 この形式は非相対論的極限でどのように Chandrasekhar の限界質量を回復するのか。一般相対性理論は最大質量において果たす役割は何か？

主な発見

• 固定された質量エネルギーおよび粒子数のもとでエントロピーを最大化する原理により、縮重フェルミガスの正しい相対論的状態方程式が得られる。
• 形式は、変分原理の直接的結果として、静的平衡のTolman-Oppenheimer-Volkoff方程式およびTolman-Klein関係式を再現する。
• 非相対論的極限（$c \to \infty$）において、結果はニュートン理論の自己重力的フェルミ粒子系に還元され、Chandrasekhar の限界質量 $M_{\rm max} = 1.42\,M_\odot$ を含む。
• 一般相対性理論において白色矮星の最大質量は有限であり、$M_{\rm max}$ において半径は $R_* = 1.03 \times 10^3\,{\rm km}$ となる。これはニュートン理論の予測である半径ゼロとは対照的である。
• 相対論的フェルミガス状態方程式を用いて、中性子星のOppenheimer-Volkoff限界質量が $M_{\rm max} = 0.710\,M_\odot$ として導出される。
• 本論文は、熱力学的安定性（最大エントロピー）と力学的安定性（エネルギーまたは自由エネルギーの最小）の直接的な関係を確立し、正準集団における非線形 Antonov 第一定理を確認した。