[論文レビュー] Statistical Properties of 2D Stochastic Navier-Stokes Equations with Time-Periodic Forcing and Degenerate Stochastic Forcing

Rongchang Liu, Kening Lu|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、時刻周期的外力および退化ノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、指数的混合性を持つ周期的不変測度の存在および一意性を確立する。確率測度の空間上の収縮論法とマリヤン・微積分を用いて、ワッサーシュタイン距離に基づく測度のエルゴード性、混合性、および極限定理（WLLNおよびCLT）を証明する。これは、グラッシュォフ数に起因する粘性係数の閾値を超えるすべての粘性係数に対して成立し、大粘性係数における層流領域（自明な力学的挙動）に対しても成立する。

ABSTRACT

We consider the incompressible 2D Navier-Stokes equations with periodic boundary conditions driven by a deterministic time periodic forcing and a degenerate stochastic forcing. We show that the system possesses a unique ergodic periodic invariant measure which is exponentially mixing under a Wasserstein metric. We also prove the weak law of large numbers for the continuous time inhomogeneous solution process. In addition, we obtain the weak law of large numbers and central limit theorem by restricting the inhomogeneous solution process to periodic times. The results are independent of the strength of the noise and hold true for any value of viscosity with a lower bound $ν_1$ characterized by the Grashof number $G_1$ associated with the deterministic forcing. In the laminar case, there is a larger lower bound $ν_2$ of the viscosity characterized by the Grashof number $G_2$ associated with both the deterministic and random forcing. We prove that in this laminar case, the system has trivial dynamics for any viscosity larger than $ν_2$ by demonstrating the existence of a unique globally exponentially stable random periodic solution that supports the unique periodic invariant measure.

研究の動機と目的

• 時刻周期的外力および退化ノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、周期的不変測度の存在および一意性を確立すること。
• ノイズ強度に依存しないワッサーシュタイン距離に基づく測度の指数的混合性を証明すること。
• 非定常解過程およびその周期的制限に対して、弱大数法則（WLLN）および中心極限定理（CLT）を導出すること。
• 大粘性係数における層流領域で、自明な力学的挙動を示す一意の安定なランダム周期的解を特徴づけること。

提案手法

• 確率測度の空間上での収縮論法を用いて、リャプノフ構造と勾配推定を活用し、エルゴード性および混合性を証明する。
• マリヤン微積分を適用してマリヤン行列を制御し、勾配推定における誤差項を推定することで、弱可約性を保証する。
• 状態空間内の有界集合を用いたカップリング法を用いて、ワッサーシュタイン距離における収縮を確立する。
• 非定常解過程の極限定理を導くために、周期的時間における遷移作用素を分析する時間周期的フレームワークを採用する。
• リャプノフ関数 $ V $ とホルダー型距離 $ \rho_r $ を用いた重み付き距離関数 $ d $ を導入し、収束を制御する。
• 粘性係数が臨界閾値 $ \nu_2 $ を超える場合、層流領域において一意の全域的指数的安定なランダム周期的解の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻周期的外力および退化ノイズを伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス系は、一意の周期的不変測度を有するか？
• RQ2 この不変測度は、ノイズ強度に依存しないワッサーシュタイン距離において指数的混合性を示すか？
• RQ3 非定常解過程およびその周期的制限は、弱大数法則および中心極限定理を満たすか？
• RQ4 粘性係数が臨界閾値を超える層流領域において、力学的挙動はどのように変化するか？
• RQ5 大粘性係数において、系は自明な力学的挙動（一意の安定解）を示すことができるか？

主な発見

• グラッシュォフ数 $ G_1 $ に起因する閾値 $ \nu_1 $ を超えるすべての粘性係数 $ \nu > \nu_1 $ に対して、ワッサーシュタイン距離において指数的混合性を持つ一意のエルゴード的周期的不変測度が存在する。
• 連続時間の非定常解過程に対して弱大数法則が成り立ち、解が周期的時刻に制限されると中心極限定理が適用可能である。
• 層流領域において、両方の外力（決定的および確率的）に起因するグレーシャフ数 $ G_2 $ に起因する閾値 $ \nu_2 $ を超える粘性係数 $ \nu > \nu_2 $ に対して、系は一意の全域的指数的安定なランダム周期的解を有する。
• 一意の周期的不変測度は、この安定解上に台を持つため、層流領域における長期的力学的挙動は自明である。
• 測度空間 $ \mathcal{P}(H) $ 上での収縮論法は、弱可約性および勾配推定を用いて確立され、収縮率 $ \alpha_2 < 1 $ を得ることで指数的混合性が保証される。
• 正の確率で軌道間の距離が小さくなるカップリング構成を用いることで、収縮係数 $ \alpha_3 < 1 $ を得ることができ、混合性の性質が確認される。