[論文レビュー] Statistical properties of one-dimensional maps under weak hyperbolicity assumptions

Juan Rivera‐Letelier, Weixiao Shen|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、弱い双曲的仮定の下で、1次元写像に対して絶対連続不変測度の存在および超多項式的混合速度を確立する。対象となる写像には実マルチモーダル写像や非再帰的複素多項式が含まれる。特に、導関数の大きさが無限大に発散する「大導関数条件」が成り立つ場合、系は多項式的を超える速さで混合することが示され、従来の境界を著しく改善し、複素設定における初の非指数的混合速度の推定値を提供する。

ABSTRACT

For a real or complex one-dimensional map satisfying a weak hyperbolicity assumption, we study the existence and statistical properties of physical measures, with respect to geometric reference measures. We also study geometric properties of these measures.

研究の動機と目的

• 弱い双曲的仮定の下で、1次元写像に対する絶対連続不変測度の存在を確立すること。
• これらの不変測度の統計的性質、特に幾何的基準測度に関する混合速度を分析すること。
• 従来の結果を拡張し、より弱い条件下で超多項式的減衰を示すことにより、混合速度に関する結果を拡張すること。
• パラボリック周期軌道を含まない有理写像に対して、複素設定における初の非指数的上界を提供すること。
• 最小限の双曲的条件の下で、実および複素1次元動的系における統計的性質に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 弱い双曲的仮定として、具体的には『大導関数条件』を採用：各ジュリア集合上の臨界値 v に対して lim_{n→∞} |Df^n(v)| = ∞ が成り立つこと。
• 調和測度とジュリア集合のハウスドルフ次元を用いた圧力推定を通じて、熱力学的形式主義を適用する。
• 歪度推定とスケーリング性質を用いた、良いおよび悪いプルバックの近傍の被覆議論を採用する。
• 圧力関数 𝒫(z;s) を導入し、部分加法的および再帰的推定を用いて、反復された逆像上の測度の成長を制御する。
• 測度のsummabilityを保証するため、指数 β > 0 の多項式的収縮条件を適用し、逆像の幾何的性質を制御する。
• 位相空間を微分同相的および非微分同相的プルバックに分解し、小さな集合の総質量を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元写像が幾何的基準測度に関して絶対連続不変測度を有するための条件は何か？
• RQ2 従来の結果よりも弱い臨界値における導関数の成長条件のもとで、超多項式的混合速度を確立できるか？
• RQ3 パラボリック周期軌道を含まない複素有理写像の混合速度に対する最良の上界は何か？非指数的である可能性はあるか？
• RQ4 不変測度の幾何的および統計的性質は、逆像の収縮速度および臨界軌道の挙動にどのように依存するか？
• RQ5 臨界点がジュリア集合上に存在を許す弱い双曲的仮定のもとで、物理的測度の存在および混合性を保証できるか？

主な発見

• 実 $ C^3 $ マルチモーダル写像で、臨界点が平坦でなく、唯一の周期的反発的周期点を持つ場合、各臨界値 $ v $ に対して $ \lim_{n\to\infty} |Df^n(v)| = \infty $ が成り立つならば、一意な絶対連続不変確率測度が存在する。
• この不変測度は超多項式的混合性を示し、任意の多項式的速度よりも速く減少する。従来の結果に比べて著しく改善されている。
• 複素設定では、唯一の双曲的周期点と大導関数条件を満たす非再帰的多項式に対しても、同様の超多項式的混合性が成り立つ。
• 一般の有理写像（次数 ≥2）でパラボリック周期軌道を含まない場合、指数 1 のsummability条件が十分であり、超多項式的混合性を示す絶対連続不変測度が保証される。
• 本稿は、複素設定における初の非指数的上界を提供し、長年の未解決問題を解決する。
• 証明は、良いおよび悪いプルバックへの分解を用いた新規な圧力推定に依拠しており、歪度とスケーリングの均一な制御によって実現される。