[論文レビュー] Statistical properties of unimodal maps: smooth families with negative Schwarzian derivative

Artur Avila, Carlos Gustavo Moreira|ArXiv.org|May 27, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、二次的臨界点と負のシュワルツ微分をもつ滑らかまたは解析的1パラメータ族の残渣的集合に対して、非正則パラメータのほとんどが指数的再帰より弱い再帰を示し、Collet-Eckmann 条件を満たすことを確立する。これにより、力学系の統計的記述が強く保たれ、Palis予想がこの設定において、典型的な系が正則的または確率的挙動を示し、強い統計的性質を有することを証明する。

ABSTRACT

We prove that there is a residual set of families of smooth or analytic unimodal maps with quadratic critical point and negative Schwarzian derivative such that almost every non-regular parameter is Collet-Eckmann with subexponential recurrence of the critical orbit. Those conditions lead to a detailed and robust statistical description of the dynamics. This proves the Palis conjecture in this setting.

研究の動機と目的

• 典型的な散逸的力学系が有限個の吸引子を物理測度で記述することを解決すること。
• 滑らかまたは解析的unimodal写像族（負のシュワルツ微分をもつ）において、典型的な非正則パラメータが指数的再帰より弱い再帰を示し、Collet-Eckmann 条件を満たすことを確立すること。
• 2次族における正則的または確率的二分岐の性質を、一般の滑らかまたは解析的unimodal族に拡張すること。
• この設定において、相関の指数的減衰、中心極限定理、強い確率的安定性といった統計的性質が一貫して成り立つことを示すこと。

提案手法

• 横断的トランスバーサル間のホロノミー写像を用いて、2次族から一般の解析的族への組合せ的および統計的性質の移行を行う。
• 「クール・ランディング」の手法と、補題 A.21 および A.11 を用いた導関数の増減推定を適用し、帰還時間と導関数の増大を制御する。
• 列 $v_n$, $c_n$, および $\lambda_{n_0}$ を用いた帰納的帰納的解析により、リャプノフ指数の下界を確立する。
• $a_k = \frac{1}{k}\ln|Df^k(f(0))|$ の推定を用いて、$\liminf a_k \geq \lambda_{n_0}/2$ を証明し、Collet-Eckmann 条件の成立を確認する。
• 補題 A.23 および A.24 を適用し、写像内の帰還時間と再スケーリング写像内の帰還時間との関係を確立し、臨界軌道の多項式的再帰性を証明する。
• 負のシュワルツ微分を用いて幾何的制御と、族全体にわたる普遍的スケーリング性の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかまたは解析的族における典型的なunimodal写像は、正則的または確率的挙動を示し、強固な統計的性質を有するか？
• RQ2 2次族における正則的または確率的二分岐の性質は、一般の解析的unimodal族に拡張可能か？
• RQ3 このような族においてCollet-Eckmann 条件は典型的か？ また、それが強力な統計的挙動をもたらすか？
• RQ4 これらの族における典型的な非正則パラメータに対して、臨界軌道の非指数的再帰性を確立できるか？

主な発見

• 負のシュワルツ微分と二次的臨界点をもつ滑らかまたは解析的unimodal写像族の残渣的集合に対して、ほとんどすべての非正則パラメータはCollet-Eckmann 条件を満たす。
• 臨界軌道は、ある $a>0$ に対して $\limsup_{n\to\infty}\frac{-\ln|f^n(0)|}{\ln n} \geq a$ を満たす、指数的再帰より弱い再帰を示す。
• リャプノフ指数は $\liminf_{k\to\infty} \frac{1}{k}\ln|Df^k(f(0))| \geq \lambda_{n_0}/2 > 0$ を満たし、Collet-Eckmann 条件が確認される。
• 統計的記述は強固である：相関の指数的減衰、中心極限定理、強い確率的安定性が、このような写像に対して成り立つ。
• 一般の解析的族の分岐構造は、可算個の「悪い」パラメータを除き、2次族と局所的に同型である。
• ホロノミー写像は確率的挙動の典型性を保ち、2次族の統計的性質が一般族へと拡張されることを保証する。