[論文レビュー] Statistics of closest returns for some non-uniformly hyperbolic systems

Pierre Collet|ArXiv.org|Apr 23, 1999

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、相関関数の指数的減衰を示す非一様な双曲的区間写像に対して、与えられた点への最近接再帰の分布が適切に正規化されると、ほとんど確実に指数分布に収束することを確立している。同様の結果が、軌道の初期点への再帰を追跡する場合にも成り立ち、このような系においては弱い混合性条件下で普遍的な統計的挙動が示される。

ABSTRACT

For non uniformly hyperbolic maps of the interval with exponential decay of correlations we prove that the law of closest return to a given point when suitably normalized is almost surely asymptotically exponential. A similar result holds when the reference point is the initial point of the trajectory. We use the framework for non uniformly hyperbolic dynamical systems developed by L.S.Young.

研究の動機と目的

• 非一様双曲的力学系における最近接再帰の統計的分布を理解すること。
• 与えられた点の周辺への最初の再帰までの正規化された時間がある指数分布に収束するかどうかを特定すること。
• 一様双曲的でないが相関関数の指数的減衰を示す系への再帰時間の結果を拡張すること。
• 基準点が位相空間内の固定点ではなく、軌道の初期点である場合を分析すること。
• 適切な正規化のもとで、指数分布へのほとんど確実な漸近的収束を確立すること。

提案手法

• 分析は、著者および共同研究者が開発した非一様双曲的系の枠組みに依拠している。
• 混合性の挙動を制御するための主要仮定として、相関関数の指数的減衰が用いられている。
• 著者らは、系の混合速度と点の再帰的性質に従ってスケーリングする関数により再帰時間を正規化している。
• 証明では、分布収束およびほとんど確実収束の両方を示す確率論的技法が用いられている。
• 特定の非一様双曲的クラス（例えば、ある種の単峰型写像を含む）の区間写像にこの手法が適用可能である。
• 正規化は局所的再帰率を考慮に入れ、標準指数分布への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様双曲的系における固定点への最近接再帰時間の分布は、適切に正規化された場合、指数分布に収束するか？
• RQ2 基準点が位相空間内の固定点ではなく、軌道の初期点である場合、再帰時間の統計的挙動はどのように変化するか？
• RQ3 相関関数の指数的減衰が、再帰時間に対する普遍的な漸近的指数的統計をどれほど保証するか？
• RQ4 このような系において、指数分布への収束が分布収束だけでなく、ほとんど確実収束としても成立するか？
• RQ5 この設定で標準指数分布への収束を達成するために必要な正規化は何か？

主な発見

• 与えられた点への正規化された最近接再帰時間は、ほとんど確実に指数分布に収束する。
• 基準点が軌道の初期点である場合にも、同じ漸近的指数法則が成り立つ。
• 結果は、非一様双曲的区間写像における相関関数の指数的減衰を仮定することで確立されている。
• 用いられた正規化は、系の混合速度と点の再帰的性質に依存する。
• 収束は分布収束およびほとんど確実収束の両方であり、強い統計的規則性を示している。
• 本研究の結果は、再帰時間の古典的なポアソン型統計を、より広い非一様双曲的系のクラスへと拡張している。