[論文レビュー] Statistics of non-interacting bosons and fermions in micro-canonical, canonical and grand-canonical ensembles: A survey

Fabrice Philippe, Jacques Arnaud+1 more|ArXiv.org|Nov 15, 2002

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非相互作用ボソンおよびフェルミオンの統計力学を、マイクロカノニカル、カノニカル、グランドカノニカルの3つのアンサンブルにおいて、数学的に厳密に導出する。特に、アンサンブルの等価性が崩れる中程度のサイズの系に焦点を当てる。分割に基づく新しい公式と、特に等間隔のエネルギー準位における占有数の再帰的関係を導入し、グランドカノニカル近似が失敗する場合でも正確な解を提供する。

ABSTRACT

The statistical properties of non-interacting bosons and fermions confined in trapping potentials are most easily obtained when the system may exchange energy and particles with a large reservoir (grand-canonical ensemble). There are circumstances, however, where the system under consideration may be considered as being isolated (micro-canonical ensemble). This paper first reviews results relating to micro-canonical ensembles. Some of them were obtained a long time ago, particularly by Khinchin in 1950. Others were obtained only recently, often motivated by experimental results relating to atomic confinement. A number of formulas are reported for the first time in the present paper. Formulas applicable to the case where the system may exchange energy but not particles with a reservoir (canonical ensemble) are derived from the micro-canonical ensemble expressions. The differences between the three ensembles tend to vanish in the so-called Thermodynamics limit, that is, when the number of particles and the volume go to infinity while the particle number density remains constant. But we are mostly interested in systems of moderate size, often referred to as being mesoscopic, where the grand-canonical formalism is not applicable. The mathematical results rest primarily on the enumeration of partitions of numbers.

研究の動機と目的

• 孤立系（マイクロカノニカル）、エネルギー交換系（カノニカル）、粒子およびエネルギー交換系（グランドカノニカル）における非相互作用ボソンおよびフェルミオンの正確統計力学を導出すること。
• 粒子数の揺らぎが顕著なメソスコピック系において、グランドカノニカルアンサンブルの限界を扱うこと。
• 初等的な組合せ論と母関数を用いて、散在するマイクロカノニカルおよびカノニカル統計の結果を統一的かつ体系的に整理すること。
• 特に調和トラップのような等間隔で非简約なエネルギー準位において、占有分布および統計重みの新しい正確な公式を導出すること。
• 占有数における包含・排除原理の関係を通じて、フェルミオン的統計とボソン的統計の間の数学的構造を明確にすること。

提案手法

• 方法はマイクロカノニカル統計から出発し、固定された全エネルギーUと不変識別可能なN個の粒子をエネルギー準位に分配する方法の数を、整数分割の列挙によって求める。
• 統計的重みW(N,U)は母関数の係数として導出され、非簡約的で等間隔のエネルギー準位に対して正確な表現が得られる。
• カノニカル統計は、Boltzmann因子q^Uを用いたマイクロカノニカル重みの平均化により得られ、Z(N,q) = ∑_U W(N,U) q^U として分配関数が得られる。
• グランドカノニカル統計は、さらに粒子数に沿った平均化を fugacity z を用いて行い、Z(z,q) = ∑_N Z(N,q) z^N として母関数が得られる。
• 鍵となる技術は、フェルミオン的およびボソン的重みを結ぶ包含・排除による関係の使用である：W^−(N,U) = ∑_n=0^{⌊N/2⌋} (−1)^n ∑_u W^−(n,u) W^+(N−2n,U−2u)。
• この方法は調和トラップや複合系に適用され、縮退および準位間隔に関する明示的な結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限でメソスコピックな系において、マイクロカノニカルアンサンブルにおける非相互作用ボソンおよびフェルミオンの正確な統計的重みおよび占有数をどのように導出できるか？
• RQ2 粒子数とエネルギーが固定された状況で、フェルミオン的統計とボソン的統計の間の正確な数学的関係は何か？
• RQ3 適切な重みを用いた平均化を通じて、カノニカルおよびグランドカノニカルアンサンブルはマイクロカノニカル統計からどのように導出可能か？
• RQ4 等間隔で非簡約なエネルギー準位を持つ系における占有数の正確な再帰的関係は何か？
• RQ5 縮退および複合系は、3つのアンサンブルにおける分配関数および統計的重みにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、等間隔で非簡約なエネルギー準位におけるフェルミオン的占有数の新しい再帰的関係を導出し、Schönhammerの最近の結果を一般化している。
• フェルミオン的およびボソン的統計的重みを結ぶ新しい正確な公式を提供している：W^−(N,U) = ∑_{n=0}^{⌊N/2⌋} (−1)^n ∑_u W^−(n,u) W^+(N−2n,U−2u)。これは包含・排除原理を占有数に一般化したものであり、正確な組合せ論的構造を示している。
• 1次元の調和トラップに対して、W(N,U)、Z(N,q)、𝒪(z,q) について完全で正確な表現が得られ、マイクロカノニカルアプローチが閉形式の解をもたらすことを示している。
• カノニカル分配関数Z(N,q)は、マイクロカノニカル重みW(N,U)の母関数として導出され、明示的な級数展開および再帰的計算が可能である。
• グランドカノニカル分配関数は、𝒪^−(z,q) = 𝒪^+(z,q) 𝒪^−(−z²,q²) という恒等式を満たしており、正確な組合せ論によって既知の恒等式と整合していることを確認している。
• 本稿は、マイクロカノニカルアンサンブルにおけるフォン・ノイマン＝シャノンのエントロピーがS = ln W(N,U) に簡略化されることを確立しており、量子統計的エントロピーが微視状態数の対数に直接結びつくことを示している。