[論文レビュー] Statistics of the First Galois Cohomology Group: A Refinement of Malle's Conjecture

Brandon Alberts|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、Galois作用を伴うアーベル群 $ T $ を用いた $ H^1(K, T) $ を用いた新しい数え上げ枠組みを導入することで、Malleの予想を精緻化する。Wilesの一般化セレマー群に関する定理を応用することで、判別式が有界なこれらのコホロロジー類の漸近的成長率を導出し、多くの可解群に対して非自明な下界を初めて確立するとともに、Klüngersの反例に対してTürkelliが予測した修正された下界を検証する。

ABSTRACT

Malle proposed a conjecture for counting the number of $G$-extensions $L/K$ with discriminant bounded above by $X$, denoted $N(K,G;X)$, where $G$ is a fixed transitive subgroup $G\subset S_n$ and $X$ tends towards infinity. We introduce a refinement of Malle's conjecture, if $G$ is a group with a nontrivial Galois action then we consider the set of crossed homomorphisms in $Z^1(K,G)$ (or equivalently $1$-coclasses in $H^1(K,G)$) with bounded discriminant. This has a natural interpretation given by counting $G$-extensions $F/L$ for some fixed $L$ and prescribed extension class $F/L/K$. If $T$ is an abelian group with any Galois action, we compute the asymptotic growth rate of this refined counting function for $Z^1(K,T)$ (and equivalently for $H^1(K,T)$) and show that it is a natural generalization of Malle's conjecture. The proof technique is in essence an application of a theorem of Wiles on generalized Selmer groups, and additionally gives the asymptotic main term when restricted to certain local behaviors. As a consequence, whenever the inverse Galois problem is solved for $G\subset S_n$ over $K$ and $G$ has an abelian normal subgroup $T rianglelefteq G$ we prove a nontrivial lower bound for $N(K,G;X)$ given by a nonzero power of $X$ times a power of $\log X$. For many groups, including many solvable groups, these are the first known nontrivial lower bounds. These bounds prove Malle's predicted lower bounds for a large family of groups, and for an infinite subfamily they generalize Kl\"uners' counter example to Malle's conjecture and verify the corrected lower bounds predicted by T\"urkelli.

研究の動機と目的

• 判別式が有界な $ G $-拡大に限らず、$ H^1(K, G) $ の交差ホモオモルフィズム（1-コホモロジー類）を数えることで Malle の予想を拡張すること。
• 特に $ G $ に自明でないGalois作用を伴うアーベル正規部分群 $ T \triangleleft G $ を含む場合に、Malleの予想を一般化すること。
• 判別式 $ < X $ を満たす $ \phi \in Z^1(K, T) $ の個数の漸近的成長率を示し、これはMalleの元来の予想の自然な一般化であることを示すこと。
• コホロロジー的技法を用いて、判別式 $ < X $ の $ G $-拡大の個数 $ N(K, G; X) $ に対する非自明な下界を確立すること。
• Malleが予測した下界が、可解群を含む広い族の群に対して正当化されることを検証し、Türkelliの予測による修正された下界に一般化すること。

提案手法

• Galois作用を伴うアーベル群 $ T $ に対して、$ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ の漸近的成長を分析するため、一般化セレマー群に関するWilesの定理を用いる。
• クラス体論と基本類を用いて、双対群 $ A^* $ の特徴の和として数え上げ関数をモデル化し、コホロロジーとレイトクラス群を関連付ける。
• 命題2.2を適用して、局所的条件に関連するオイラー積を分析し、主要項を決定する右端の極の位置と位数を同定する。
• 同型の部分集合 $ U \subset \operatorname{Hom}_B(\prod_{p\in S} L_p^*, T) \times \cdots $ を構成し、ねじれ操作の下で判別式が保存されることを保証する。
• 写像 $ \Psi $ の上への性質を用いて埋め込み問題の解の存在を保証し、コホロロジー類のフルランク部分族を構成する。
• 双対セレマー群 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ の長さを、レイトクラス体 $ L(\mu_{|T|}) $ の判別式と関連付け、$ \ll \operatorname{disc}(L(\mu_{|T|})/K)^{1/2 + \epsilon} $ の形の上界を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Galois作用を伴う群 $ G $ を考える際、Malleの予想をどのように修正すればよいか、特に $ G $ に自明でないGaloisモジュール構造がある場合に。
• RQ2 Galois作用を伴うアーベル群 $ T $ に対して、判別式が有界な交差ホモオモルフィズム $ Z^1(K, T) $ の個数の漸近的成長率は何か。
• RQ3 コホロロジー的技法を用いて、アーベル正規部分群 $ T \triangleleft G $ を含む群 $ G $ に対して、$ N(K, G; X) $ の非自明な下界を確立できるか。
• RQ4 $ H^1(K, T) $ を用いた精緻化された数え上げ枠組みは、Malleの元来の予想が成り立たない場合を含め、Malleが予測した下界を回復・一般化できるか。
• RQ5 双対セレマー群 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ の構造は、数え上げ関数の成長率とどのように関係するか。また、局所的条件の数を制御するために使用できるか。

主な発見

• 判別式 $ < X $ の $ \phi \in Z^1(K, T) $ の個数の漸近的成長率が、$ \sim c(K, T) X^{1/a(T)} (\log X)^{b(K,T)-1} $ であることが示され、ここで $ a(T) = \min_{g \neq 1} \operatorname{ind}(g) $ であり、Malleの予想を一般化する。
• 任意の群 $ G \subset S_n $ で、アーベル正規部分群 $ T \triangleleft G $ を持つ場合、非自明な下界 $ N(K, G; X) \gg X^{1/a(G)} (\log X)^{b(K,G)-1} $ が証明され、多くの可解群に対して初めての下界となる。
• Klüngersの反例（$ G = C_3 \wr C_2 $, $ K = \mathbb{Q} $）に対して、Türkelliが予測した修正された下界が、この手法によって検証され、Malleの元来の予想に対する反例を解消する。
• Wilesの定理を用いて、精緻化された数え上げ関数の漸近的主項を確立し、主項はFrobenius局所条件に関するオイラー積の右端の極から生じる。
• 双対セレマー群 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ の長さは $ \ll \operatorname{disc}(L(\mu_{|T|})/K)^{1/2 + \epsilon} $ で上界が与えられ、局所的条件の数が判別式に対して指数的成長を示さないことが示される。
• Wilesの定理を用いるアプローチにより、以前の手法で要求されていた局所的条件が部分群でなければならないという障害を回避でき、判別式順序での数え上げに対して正確な漸近的主項を得られる。