[論文レビュー] Statistics of the Work in Quantum Quenches, Universality and the Critical Casimir Effect

Andrea Gambassi, Alessandro Silva|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、量子クエンチにおける作業統計と古典的系における臨界カシミール効果との間の写像を確立し、量子臨界点付近における作業分布 $ P(W) $ の普遍的スケーリング行動を明らかにする。著者らは、作業の特性関数を虚時間へ解析接続することで、$ P(W) $ を古典的フィルムの分配関数と結びつける。これにより、端点特異性およびしきい値行動が普遍的臨界カシミール自由エネルギーによって支配されることを示す。

ABSTRACT

We consider the dynamics of an isolated quantum many-body system after a sudden change of one control parameter, focusing on the statistics of the work done. We establish a connection between the generating function of the distribution of the work and the partition function of a classical system in a film geometry. Using this connection, we first show that the scaling of the fidelity susceptibilities close to a quantum phase transition can be understood in terms of the critical behavior of the excess entropy and specific heat in the classical model. Remarkably, we show that the statistics of the work close to the threshold and to criticality is connected to the so-called critical Casimir free energy which is responsible for the interaction between the boundaries of the classical system. On the basis of this relation, we highlight the emerging universal features of the statistics of the work. Our findings are exemplified for a global quench of the transverse Ising chain at zero temperature.

研究の動機と目的

• 孤立系における多体系の量子クエンチにおける作業統計に現れる普遍性の起源を理解すること。
• 作業特性関数とフィルム幾何学における古典的系の分配関数との関係を特定すること。
• 分布 $ P(W) $ の端点特異性およびしきい値行動が、普遍的臨界カシミール自由エネルギーによって支配されることを示すこと。
• 量子臨界点付近における特異性のスケーリングが、古典的モデルにおける臨界挙動に起因することを示すこと。
• 古典的臨界現象を用いて、量子系における非平衡ダイナミクスを分析する普遍的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 作業分布の特性関数 $ G(t) = \braket{\tilde{\rho}_i | e^{iH_i t} e^{-iH_f t} | \tilde{\rho}_i} $ を解析接続 $ t \to -iR $ により古典的分配関数に写像し、$ G(R) = e^{-\triangle E_0 R} Z(R) $ を得る。
• $ Z(R) $ を厚さ $ R $ のストリップ上に存在する $ d+1 $ 次元古典的系の分配関数と特定し、境界状態が初期量子状態に対応することを示す。
• 自由エネルギー $ -\text{ln}\thinspace G(R) $ を体積項、表面項、臨界カシミール項に分解する：$ f_{\text{tot}} = R f_b + 2f_s + f_c(R) $、ここで $ f_c(R) $ は臨界カシミール自由エネルギーである。
• $ f_c(R) \to A(R) R^{-1} $ の漸近形を用いて、$ P(W) $ の普遍的端点特異性を導出する。$ R \to \rho_+ $ のとき $ A(R) \to \text{const} \times R^{-1} $ となる。
• コンformal field theory と双対性を用いて、クエンチが臨界点へまたはその周囲を越える場合の $ F(x) $（$ x = R/\rho_+ $）を計算し、逆フーリエ変換により $ P(W) $ を抽出する。
• しきい値近傍および2粒子連続体における $ P(W) $ の明示的表現を導出し、散乱振幅の運動論的極に起因する $ w = m_f, 2m_f, \text{etc.} $ におけるデルタ関数ピーク（空間スケール $ \frac{1}{L} $ で間隔をあける）を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子クエンチにおける作業統計は、古典的系における臨界カシミール効果とどのように関係しているか？
• RQ2 量子臨界点付近における作業分布 $ P(W) $ に現れる普遍的特徴は何か？
• RQ3 $ P(W) $ の端点特異性は、クエンチの初期および最終パラメータにどのように依存するか？
• RQ4 量子相転移付近における特異性のスケーリングは、古典的臨界挙動を用いて理解できるか？
• RQ5 境界条件および双対性は、$ P(W) $ の普遍的形を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 作業分布の特性関数 $ G(t) $ は、解析接続 $ t \to -iR $ を通じて、フィルム幾何学における古典的系の分配関数に写像され、量子クエンチのダイナミクスと古典的臨界現象を結びつける。
• 臨界カシミール自由エネルギー $ f_c(R) \to A(R) R^{-1} $ が、$ P(W) $ の普遍的端点特異性を支配する。$ R \to \rho_+ $ のとき $ A(R) \to \text{const} \times R^{-1} $ となるため、分布における普遍的 $ \rho_{-}^{2} \times \frac{1}{\rho} $ スケーリングが得られる。
• クエンチが量子臨界点（$ g_f = 1 $）に達する場合、作業分布はスケーリング関数 $ F(x=0) = -\frac{\rho_+}{48} $ を示し、コンformal field theory の予測と整合的である。
• 臨界点を越えてクエンチする場合、$ m_f \to 0 $ となるとき、分布は非解析的挙動 $ F(x) \to -\rho_+ x e^{-x} + \frac{2}{\rho_+} x^{3/2} e^{-2x} + \text{...} $ を示す。これは、$ T > T_c $ のとき $ (+,+) $、または $ T < T_c $ のとき $ (O,O) $ の境界条件における臨界カシミール効果を反映している。
• 作業分布 $ P(W) $ は、散乱振幅の非摂動的運動論的極に起因する、$ w = m_f, 2m_f, \text{etc.} $ における普遍的デルタ関数ピークを有する。空間スケール $ \frac{1}{L} $ で間隔が開く。
• $ 2m_f $ における端点特異性は熱力学的極限では可積分でないが、$ w - 2m_f \to \frac{1}{L} $ でカットオフされ、2粒子準位間隔 $ \frac{1}{L} $ と整合的である。