[論文レビュー] Steady low Reynolds number flow of a generalized Newtonian fluid through a slender elastic tube

Vishal Anand, Ivan C. Christov|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Blood properties and coagulation被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、細長い弾性管を通過する定常的・低レイノルズ数の一般化ニュートン流体（例：べき則）の摂動的解析的モデルを構築し、潤滑理論と薄皮膜弾性理論を組み合わせたものである。流体による変形を考慮した一般化されたハーゲン＝ポアズイユ則を導出し、変動する断面積に起因する流量の増加を示し、3次元直接数値シミュレーション（DNS）と良好な一致を示した。

ABSTRACT

An elastic flow vessel can deform significantly due to viscous fluid flow within it, even at vanishing Reynolds number (no fluid inertia). Deformation leads to an enhancement of throughput due to the change in cross-sectional area. The latter gives rise to a non-constant pressure gradient in the flow-wise direction and, hence, to a nonlinear flow rate--pressure drop relation (unlike the Hagen--Poiseuille law for a rigid tube). Biofluids are non-Newtonian, and well approximated by generalized Newtonian (say, power-law) rheological models. Consequently, we analyze the problem of steady low Reynolds number flow of a generalized Newtonian fluid through a slender elastic tube by coupling fluid lubrication theory to a structural problem reduced to transverse loading of a linearly elastic cylindrical shell. A perturbative approach (in the slenderness parameter) yields analytical solutions for both the flow and the deformation. Using matched asymptotics, we obtain a uniformly valid solution for the tube's radial displacement, which features both a boundary layer and a corner layer caused by localized bending near the clamped ends. In doing so, we obtain a ``generalized Hagen--Poiseuille law'' for soft microtubes. We benchmark the mathematical predictions against three-dimensional two-way coupled direct numerical simulations (DNS) of flow and deformation performed using the commercial computational engineering platform by ANSYS. The simulations show good agreement and establish the range of validity of the theory. Finally, we discuss the implications of the theory on the problem of the flow-induced deformation of a blood vessel, which is featured in some textbooks.

研究の動機と目的

• 一般化ニュートン流体が細長い弾性管を通過する定常的・低レイノルズ数の流れを、流体構造連成を考慮してモデル化すること。
• 固定端部における局所的曲げに起因する境界層およびコーナー層を捉えることができる、径方向管変位の解析的解を導出すること。
• 変形に起因する非線形な流量－圧力勾配関係を反映する、ソフトマイクロチューブのための一般化されたハーゲン＝ポアズイユ則を確立すること。
• 高精度な3次元2方向結合直接数値シミュレーション（DNS）と照合して、理論的予測の妥当性を検証すること。
• 一部の教科書で議論されている、柔軟性のある動脈における血行動態的流れへのインパクトを検討すること。

提案手法

• 主に粘性力が支配的で慣性力が無視できると仮定し、潤滑理論を用いて一般化ニュートン流体の流れをモデル化する。
• 横方向の流体圧力荷重下における細長い管の径方向変形を、薄皮膜弾性理論を用いてモデル化する。
• スレンダーパラメータの摂動展開を用いて、流れおよび変形の漸近的解を導出する。
• 境界層およびコーナー層を解消するため、一致した漸近展開を適用して、径方向変位の一様に有効な解を構築する。
• 流体構造連成問題を解き、ハーゲン＝ポアズイユ則とは異なる非線形な流量－圧力勾配関係を導出する。
• ANSYSを用いて3次元2方向結合DNSと照合し、変形および流れの領域全域で精度を保証する解析モデルを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 細長い弾性管の変形が、低レイノルズ数の一般化ニュートン流体の流量－圧力勾配関係にどのように影響するか。
• RQ2 固定端部付近において、特に局所的曲げに起因する径方向変位場の構造はいかなるものか。
• RQ3 摂動的漸近解が、3次元フルシミュレーションと比較して、流れおよび変形をどれほど正確に予測できるか。
• RQ4 非ニュートン流動特性（例：べき則挙動）が、管の拡張に起因する流量増加にどのように影響するか。
• RQ5 生理的条件下のソフトマイクロチューブに対して、導出された一般化されたハーゲン＝ポアズイユ則の有効範囲はどの程度か。

主な発見

• 解析モデルは、固定端部における局所的曲げに起因する径方向変位の境界層およびコーナー層を的確に捉えている。
• 導出された一般化されたハーゲン＝ポアズイユ則は、変形に起因する断面積の変動を考慮しており、剛性管とは異なる非線形な流量－圧力勾配関係を反映している。
• ANSYSを用いて実施された3次元直接数値シミュレーションと理論的予測が良好に一致しており、モデルの正確性および有効範囲が確認された。
• モデルは、流体による変形が、極めて小さいレイノルズ数であっても、有効断面積の増加に起因して流量を増加させることを示している。
• 摂動的アプローチにより、端部付近の応力勾配が急激に変化する領域を含め、チューブ全長にわたる一様に有効な解が得られた。これは、正確なモデル化に不可欠な領域である。
• 本研究の結果は、非ニュートン的性質と壁の弾性が顕著な、例えば動脈のような柔軟なマイクロ循環器系における流れの理解に理論的基盤を提供する。