[論文レビュー] Steady solutions of the Navier-Stokes equations in the plane

Julien Guillod|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、非有界2次元領域における定常的・非圧縮性ナビエ＝ストークス流れを検討し、非線形効果が非ゼロの合力がある場合でも無限遠で速度がゼロとなる解を許容することを示すことにより、古典的ストークスのパラドックスを解消する。非ゼロ合力に対する形式的漸近展開を確立し、$|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ のウエーク減衰を予測し、数値的にも裏付けられている。また、解が二重ウエークや調和解に漸近的に近づく可能性を示し、線形ストークス理論をはるかに超える多様な大距離挙動の可能性を明らかにする。

ABSTRACT

This study is devoted to the incompressible and stationary Navier-Stokes equations in two-dimensional unbounded domains. First, the main results on the construction of the weak solutions and on their asymptotic behavior are reviewed and structured so that all the cases can be treated in one concise way. Most of the open problems are linked with the case of a vanishing velocity field at infinity and this will be the main subject of the remainder of this study. The linearization of the Navier-Stokes around the zero solution leads to the Stokes equations which are ill-posed in two dimensions. It is the well-known Stokes paradox which states that if the net force is nonzero, the solution of the Stokes equations will grow at infinity. By studying the link between the Stokes and Navier-Stokes equations, it is proven that even if the net force vanishes, the velocity and pressure fields of the Navier-Stokes equations cannot be asymptotic to those of the Stokes equations. However, the velocity field can be in some cases asymptotic to two exact solutions of the Stokes equations which also solve the Navier-Stokes equations. Finally, a formal asymptotic expansion at infinity for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations having a nonzero net force is established based physical arguments. The leading term of the velocity field in this expansion decays like $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ and exhibits a wake behavior. Numerical simulations are performed to validate this asymptotic expansion when is net force is nonzero and to analyze the asymptotic behavior in the case where the net force is vanishing. This indicates that the Navier-Stokes equations admit solutions whose velocity field goes to zero at infinity in contrast to the Stokes linearization and moreover this shows that the set of possible asymptotes is very rich.

研究の動機と目的

• 定常的2次元ナビエ＝ストークス流れにおいて、線形化ストークス解が無限遠で発散するため失敗するというストークスのパラドックスを解消すること。
• 合力がゼロまたは非ゼロの場合の定常ナビエ＝ストークス解の漸近的挙動を特定すること、特に無限遠で速度がゼロに減衰するか否かを明らかにすること。
• 非ゼロ合力を持つ解に対して形式的漸近展開を確立し、ウエーク的減衰挙動を予測すること。
• 予測された漸近的減衰率を数値的に検証し、高レイノルズ数における複数ウエークの出現を探索すること。
• ナビエ＝ストークス解の可能な大距離漸近的挙動の集合が、線形ストークス方程式のそれよりも豊かであることを示すこと。

提案手法

• 非有界2次元領域における弱解およびその漸近的挙動に関する既存の結果をレビュー・統合すること。
• ストークス方程式とナビエ＝ストークス方程式の関係を分析し、合力がゼロであってもナビエ＝ストークス解が漸近的にストークス解に一致できないことを示すこと。
• 物理的議論を用いて非ゼロ合力に対する形式的漸近展開を導出し、ウエーク内での一次近似減衰が $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ であることを特定すること。
• 人工境界条件を用いた数値シミュレーションにより漸近的予測を検証し、デルタ関数を近似する源項を用いること。
• 対称性破れメッシュを用いて複数ウエークの出現を観測し、遠方領域におけるその減衰率を分析すること。
• 大規模領域（$10^2 \leq r \leq 8 \times 10^3$）における数値的速度大きさをフィッティングし、べき乗則減衰指数を抽出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ合力がある場合でも、2次元非有界領域における定常ナビエ＝ストークス解が無限遠で速度がゼロとなることは可能か？ これはストークスのパラドックスに反する。
• RQ2 非ゼロ合力を持つ定常ナビエ＝ストークス流れにおける速度場の正しい漸近的挙動は何か？
• RQ3 数値解において複数ウエークはどのように出現し、大距離でどのような減衰率を示すか？
• RQ4 合力がゼロの場合、解は正確なオイラー方程式の解や調和場に漸近的に近づくことができるか？
• RQ5 漸近的状態におけるウエークの数は、レイノルズ数か源配置によって決定されるか？

主な発見

• 非ゼロ合力の場合、速度場の一次近似漸近的挙動はウエーク内では $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ に、それ以外では $|\boldsymbol{x}|^{-2/3}$ に減衰し、物理的予想と整合的である。
• 数値的シミュレーションにより、高振幅 $\mathcal{A}$ における $n=1,2,3,4$ の源配置で、ウエーク領域における $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ 減衰が確認された。
• 低 $\mathcal{A}$ 時には初期段階でストークス解（$r^{-1}$ または $r^{-2}$）に類似した減衰を示すが、$\mathcal{A}$ が増加するにつれて $r^{-1/3}$ 減衰に遷移する。
• $n=4$ の場合、対称性の破れにより高 $\mathcal{A}$ 時に4つの明確なウエークが出現し、複数ウエークが高レイノルズ数でのみ現れることを示唆している。
• 合力がゼロの解は、二重ウエーク解 ${\boldsymbol{U}\!}_{\boldsymbol{F}} + {\boldsymbol{U}\!}_{-\boldsymbol{F}}$ または調和解 $\mu \boldsymbol{e}_{\theta}/r$ に漸近的に近づくことができ、両者とも $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ に超臨界的に減衰する。
• ナビエ＝ストークス方程式の非線形性のおかげで、合力が非ゼロであっても無限遠で速度がゼロに減衰する解が可能となり、非線形レベルでストークスのパラドックスが解消される。