[論文レビュー] Steady-state solution methods for open quantum optical systems

Paul D. Nation|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、古典的計算を用いて、開放的量子光学系の定常状態密度行列を効率的に計算するための高度な数値手法を提示する。二重反復型の逆べき乗法を導入し、特にLiouvillianスーパーオペレーターの置換後に良好に条件付けられている場合、大規模なヒルベルト空間において、直接因子分解法に比べてメモリと実行時間の両面で優れた性能を示す反復解法が優れていることを実証する。

ABSTRACT

We discuss the numerical solution methods available when solving for the steady-state density matrix of a time-independent open quantum optical system, where the system operators are expressed in a suitable basis representation as sparse matrices. In particular, we focus on the difficulties posed by the non-Hermitian structure of the Lindblad super operator, and the numerical techniques designed to mitigate these pitfalls. In addition, we introduce a doubly iterative inverse-power method that can give reduced memory and runtime requirements in situations where other iterative methods are limited due to poor bandwidth and profile reduction. The relevant methods are demonstrated on several prototypical quantum optical systems where it is found that iterative methods based on iLU factorization using reverse Cuthill-Mckee ordering tend to outperform other solution techniques in terms of both memory consumption and runtime as the size of the underlying Hilbert space increases. For eigenvalue solving, Krylov iterations using the stabilized bi-conjugate gradient method outperform generalized minimal residual methods. In contrast, minimal residual methods work best for solvers based on direct LU decomposition. This work serves as a guide for solving the steady-state density matrix of an arbitrary quantum optical system, and points to several avenues of future research that will extend the applicability of these classical algorithms in absence of a quantum computer.

研究の動機と目的

• 非エルミート的で悪条件なLiouvillianスーパーオペレーターに起因する、開放的量子光学系の定常状態密度行列をシミュレートする際の計算ボトルネックに対処する。
• 大規模な量子系に適用された際の、標準的な反復解法および直接因子分解法のスパース線形代数における限界を克服する。
• 完全なLU因子分解を近似iLU分解に置き換えることで、メモリと実行時間を削減するための二重反復型逆べき乗法を開発・評価する。
• 複数の量子光学モデルにおいて反復解法と直接解法を体系的に比較し、最適なパフォーマンス戦略を特定する。
• 古典的量子系シミュレーションにおける効率を最大化するための、行列再順序付けおよび解法パラメータの選定に関する実用的指針を提供する。

提案手法

• Liouvillianスーパーオペレーターの一般化固有値問題として定常状態問題を定式化し、制約行列を用いてトレース保存性を保証する。
• 単位トレース条件を用いて固有値問題を線形系に再定式化し、Krylov部分空間解法と前処理の利用を可能にする。
• Liouvillian行列の帯域幅とプロファイルを低減するために、逆Cuthill-McKee（RCM）順序付けを適用し、因子分解中のフィルインを削減し、条件数を改善する。
• RCM順序付け済み行列を用いた不完全LU（iLU）因子分解を前処理として用い、GMRESおよびBiCGSTABの具体的な反復解法を実装し、収束性を向上させる。
• 完全なLU因子分解を置き換えるために、高速収束を示す逆べき乗反復を用いた二重反復型逆べき乗法を導入し、メモリ使用量を削減する。
• ヒルベルト空間次元を変化させながら、QuTiPの数値フレームワークを用いて、代表的な系（Jaynes-Cummings、スピン鎖、オプトメカニカル系）における性能をベンチマークする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCMとCOLAMDの異なる行列再順序付け戦略が、Liouvillianスーパーオペレーターの条件数および反復解法のパフォーマンスに与える影響は何か？
• RQ2 大規模な量子系において、iLU前処理を施した反復解法が、直接LU因子分解を上回るメモリと実行時間の面での性能を示す領域はどの範囲か？
• RQ3 Liouvillianの非エルミート的構造および悪条件性が、GMRESやBiCGSTABなどのKrylov部分空間解法の収束性に与える影響は何か？
• RQ4 行列構造に起因する帯域幅低減が不十分な場合、二重反復型逆べき乗法が計算コストを効果的に削減できるか？
• RQ5 ヒルベルト空間サイズが増加するに従い、Jaynes-Cummings、スピン鎖、オプトメカニカル系などの異なる量子光学モデルにおける解法パフォーマンス特性はどのように変化するか？

主な発見

• 大規模なヒルベルト空間において、RCM再順序付けを施したiLU因子分解に基づく反復解法は、直接LU因子分解に比べて、メモリ使用量と実行時間の両面で優れている。
• iLU前処理を用いた固有値解法において、安定化バイコントラスト・グラディエント（BiCGSTAB）法が一般化最小残差（GMRES）法を上回る性能を示す。
• 最小残差法（例：GMRES）は、直接LU分解と組み合わせて最も効果的である一方、BiCGSTABはiLUを用いた反復法において優れた性能を示す。
• RCM再順序付けにより、近似逆行列の条件数が悪化するためCOLAMDに失敗する系（特にオプトメカニカル系）においても収束が可能になる。
• iLUとRCMを組み合わせた場合、完全なLU因子分解に比べて、メモリ使用量が最大1桁のオーダーで削減され、それに応じた実行時間の改善が得られる。
• 帯域幅低減が不十分な場合でも、二重反復型逆べき乗法は、安定性と効率性を維持する有効な代替手法である。