[論文レビュー] Steady states, fluctuation-dissipation theorems and homogenization for diffusions in a random environment with finite range of dependence

Pierre Mathieu, Andrey Piatnitski|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限範囲に依存する確率的環境下で、小さな外部力が作用する可逆拡散過程に対して、定常状態および弱定常状態の存在と連続性を確立する。有効速度の微分を計算し、有効分散の連続性を示すことにより、完全なフラクチュエーション・ディスシペーション定理を証明する。時間に依存しない一様な境界を、指数モーメント推定とスペクトルギャップ技術を用いて摂動された環境過程に対して得る。

ABSTRACT

Prolongating our previous paper on the Einstein relation, we study the motion of a particle diffusing in a random reversible environment when subject to a small external forcing. In order to describe the long time behavior of the particle, we introduce the notions of steady state and weak steady state. We establish the continuity of weak steady states for an ergodic and uniformly elliptic environment. When the environment has finite range of dependence, we prove the existence of the steady state and weak steady state and compute its derivative at a vanishing force. Thus we obtain a complete "Fluctuation- Dissipation Theorem" in this context as well as the continuity of the effective variance.

研究の動機と目的

• 小さな定常外部力が作用する確率的可逆環境下で移動する粒子の長時間挙動を研究すること。
• 粒子から見た環境の定常状態および弱定常状態の存在と正則性を確立すること。
• この文脈において、有効速度の微分を含む完全なフラクチュエーション・ディスシペーション定理を導出すること。
• 小さな外力に対して有効分散の連続性を証明すること。
• 拡散ダイナミクスにおける小さな摂動への反応を分析することで、均質化理論を拡張すること。

提案手法

• 外部力が作用する下で、粒子から見た環境の不変測度として定常状態の概念を導入する。
• 粒子から見た環境の過程を用いて弱定常状態を定義し、混合的かつ一様に強凸的で、有限範囲に依存する環境下でその連続性を証明する。
• 摂動された過程の時間発展を一様に制御するため、指数モーメント推定とスペクトルギャップ技術を適用する。
• 力の表現を発散型形式を用い、$H^{-1}_{\infty}$における近似を用いて、滑らかなベクトル場から有界なベクトル場への結果の拡張を行う。
• ディリクレ型形式と指数モーメントの変分表現を用いて、加法的汎関数のモーメント生成関数の境界を導出する。
• 補助関数の最適化により、加法的汎関数の一様な尾確率推定とモーメント境界を導出し、結果として時間に依存しない一様な制御を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限範囲に依存する確率的環境下で、外部力に依存する定常状態は存在し、連続的に依存するか？
• RQ2 このような環境下における可逆拡散過程に対して、完全なフラクチュエーション・ディスシペーション定理を確立できるか？
• RQ3 この設定において、有効分散は外部力パラメータに関して連続的か？
• RQ4 小さな外力が作用する下で、粒子から見た環境の時間発展はどのように変化するか？ また、時間に依存しない一様な境界を導出できるか？
• RQ5 有効速度の正則性およびその微分は、外部力に関してどのように表されるか？

主な発見

• 有限範囲に依存する確率的環境下における可逆拡散過程に対して、定常状態および弱定常状態が存在する。
• 混合的かつ一様に強凸的条件下で、弱定常状態は外部力に関して連続的である。
• ゼロ外力における有効速度の微分が計算され、完全なフラクチュエーション・ディスシペーション定理が得られる。
• 有効分散が外部力パラメータに関して連続的であることが示された。
• 指数モーメント推定を用いて加法的汎関数の時間に依存しない一様な境界が確立され、環境過程のモーメント境界が得られる。
• この結果は、ダイナミクスにおける小さな摂動に対して、均質化のロバスト性を裏付ける。